Convergencia de las series iteradas $ \sin $

Question

He tratado de mostrar la convergencia o divergencia de

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^n 1}{n} = \frac{\sin 1}{1} + \frac{\sin \sin 1}{2} + \frac{\sin \sin \sin 1}{3} + \ \cdots $$

donde el superíndice significa iteración ( no multiplicación, por lo que no es simplemente menos que una serie geométrica -- no pude encontrar la notación estándar para esto).

El problema es,

• $ \sin^n 1 \to 0 $ como $ n \to \infty $ (que finalmente demostré asumiendo un límite positivo y teniendo $ \sin^n 1 $ caer por debajo de ella, después de conseguir su existencia ) ayuda a que la serie converja,

pero al mismo tiempo

• $ \sin^{n+1} 1 = \sin \sin^n 1 \approx \sin^n 1 $ para grandes $ n $ hace que se parezca a la serie armónica divergente.

Agradecería si alguien conoce una prueba de convergencia útil o una demostración (o cualquier tipo de consejo, para el caso).

Por si te sirve, aquí tienes algunas cosas que he probado:

• Mostrar $ \sin^n 1 = O(n^{-\epsilon}) $ y utilizar la serie p. No estoy seguro de que eso sea cierto.
• Pruebas informáticas y observación de sumas parciales. Desgraciadamente, $ \sum 1/n $ diverge muy lentamente, lo que es difícil de distinguir de la convergencia.
• De alguna manera el trabajo en la serie relacionada $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos^n 1}{n} = \frac{\cos 1}{1} + \frac{\cos \cos 1}{2} + \frac{\cos \cos \cos 1}{3} + \ \cdots $$ que sé que diverge ya que los numeradores se acercan a un punto fijo.

Answer 1

Una búsqueda en Google ha permitido encontrar un análisis del comportamiento asintótico de los iterados de $\sin$ en página 157 de de Bruijn Métodos asintóticos en el análisis . A saber,

$$\sin^n(1)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{n}}\left(1+O\left(\frac{\log(n)}{n}\right)\right),$$

lo que implica que su serie converge.

Edición: Aryabhata ha señalado en un comentario que el problema de demostrar que $\sqrt{n}\sin^n(1)$ converge a $\sqrt{3}$ ya apareció en la pregunta Convergencia de $\sqrt{n}x_{n}$ donde $x_{n+1} = \sin(x_{n})$ (preguntado por Aryabhata en agosto). Se me había pasado o se me había olvidado. David Speyer dio una gran respuesta autocontenida, y también hizo referencia al libro de De Bruijn. De Bruijn da una referencia a un trabajo de 1945 de Pólya y Szego para este resultado.

Answer 2

Véase también aquí (num.U213)

https://www.awesomemath.org/wp-content/uploads/reflections/2012_1/MR6solutions.pdf

para una prueba de los dos primeros términos de la expansión