Dado $a+b+c=0$, simplificar la siguiente.

Question

Estoy aquí de nuevo para hacer una pregunta acerca de un ejercicio vi todo, pero estoy teniendo un montón de problemas con el. Sé que la respuesta es 3abc, pero como en muchas de mis preguntas, yo estoy interesado en el por qué y el cómo.

Dado $a+b+c=0$, simplificar:

$$\frac{(a^3-abc)^3+(c^3-abc)^3+(b^3-abc)^3}{(c^2-ab)(b^2-ac)(a^2-bc)}$$

Answer 1

Si usted acaba de sub en $c=-a-b$, a continuación, cada uno de los factores del denominador se reduce a $(a^2+ab+b^2)$.

Cada término del numerador tiene un factor que es uno de estos denominador factores. Por ejemplo, el primer término del numerador es $a^3(a^2-bc)^3$,$a^3(a^2+ab+b^2)^3$.

Así tenemos $$\begin{align} \frac{a^3(a^2+ab+b^2)^3+c^3(a^2+ab+b^2)^3+b^3(a^2+ab+b^2)^3}{(a^2+ab+b^2)^3} \end{align} $$

Ahora $a^2+ab+b^2\neq0$ (que está garantizado el caso de que todos nuestros números son reales), tenemos $$a^3+b^3+c^3$$

Answer 2

Usted puede por ejemplo, el factor de $a^3 - a b c = a(a^2 - b c)$, que coincide con un factor en el denominador. Esto sugiere una suma de fracciones.

Siempre se puede escribir el numerador y el denominador. La similitud de los términos de la da esperanza de que habrá un montón de cancelación.

Trate de sustituir valores simples, como $a = b = c$ y ver qué pasa.