¿Existe un vector cíclico para $-\frac{d^{2}}{dx^{2}}$ en $L^{2}[0,2\pi]$ con condiciones periódicas?

Question

Sea $\mathcal{H}=L^{2}[0,2\pi]$ y que $L=-\frac{d^{2}}{dx^{2}}$ en el dominio $\mathcal{D}(L)$ consistente en dos funciones absolutamente continuas $f$ en $[0,2\pi]$ con $f''\in\mathcal{H}$ y $f(0)=f(2\pi)$ , $f'(0)=f'(2\pi)$ . Entonces $L$ es autoconjunta en este dominio. ¿Existe un vector cíclico $\phi \in \mathcal{H}$ para la $C^{\star}$ álgebra generada por los resolventes $(L-\lambda I)^{-1}$ ?

Answer 1

No. La razón es: el espectro de $L$ tiene multiplicidades.

Sea $e_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx},\ n\in\mathbb Z.$ Es un ONB en $\mathcal H$ formado por valores propios de $L.$ Para un $n\in\mathbb N,$ el subespacio $V_n$ abarcado por $e_n,e_{-n}$ es un eigespacio para $L$ correspondiente al valor propio $n^2.$ Por lo tanto $V_n$ es un espacio eigénico para cada $(L-\lambda I)^{-1}$ (correspondiente al valor propio $(n^2-\lambda)^{-1}$ ). Es decir, $V_n$ es invariante bajo cada $(L-\lambda I)^{-1}$ y la restricción de $(L-\lambda I)^{-1}$ en $V_n$ es un múltiplo de la identidad. Por lo tanto $V_n$ es un subespacio invariante para el $C^*$ -y el $C^*$ -actúa mediante operadores escalares sobre $V_n.$ Si hubiera un vector cíclico $\psi$ para la $C^*$ -la proyección $P_n\psi$ de $\psi$ en $V_n$ sería cíclico para el subespacio $V_n,$ lo cual no es cierto.