¿Es este functor representable?

Question

Fijar un grupo $G_0$ y $R$ un subconjunto de $G_0$ . Consideremos el functor $F$ de $\textbf{Grps}$ a $\textbf{Sets}$ enviando cada objeto $G$ en $\textbf{Grps}$ a $F(G)$ el subconjunto de $\varphi \in \text{Hom}(G_0, G)$ tal que $\varphi(r) = 1$ por cada $r \in R$ y enviando cada homomorfismo $f: G \to G'$ al mapa $F(f) : \varphi \mapsto f \circ \varphi$ .

Pregunta. ¿Es este functor representable?

Answer 1

Sí, es representable, considere $G_R$ el subgrupo normal de $G_0$ generado por $R$ , $F(G)=Hom(G_0/G_R,G)$

Answer 2

Dejemos que $G_1$ sea el cierre normal de $R$ el subgrupo normal más pequeño de $G_0$ que contiene $R$ . Como el núcleo de un homomorfismo es un subgrupo normal, cualquier elemento de $F(G)$ contiene $G_1$ en su núcleo. A la inversa, cualquier homomorfismo de $G_0$ a $G$ cuyo núcleo contiene $G_1$ es obviamente un elemento de $F(G)$ . Por lo tanto, $$F(G) = \{\varphi \in \text{Hom}(G_0,G) : \text{Ker}\,\varphi \supset G_1\}.$$ Pero existe una identificación natural de este último conjunto con $\text{Hom}(G_0/G_1, G)$ que denotamos por $\varphi \mapsto \overline{\varphi}$ . Así, obtenemos una identificación natural de $F(G)$ con $\text{Hom}(G_0/G_1, G)$ . Entonces, para dos grupos cualesquiera $G$ y $G'$ y cualquier $f \in \text{Hom}(G, G')$ podemos verificar fácilmente la conmutatividad del siguiente diagrama. $$\require{AMScd} \begin{CD} F(G) @>\varphi \mapsto f \circ \varphi >> F(G')\\ @V\varphi \mapsto \overline{\varphi} VV @VV \psi \mapsto \overline{\psi} V \\ \text{Hom}(G_0/G_1, G) @> \alpha \mapsto f \circ \alpha >> \text{Hom}(G_0/G_1, G') \end{CD} $$ Por lo tanto, $F$ es naturalmente isomorfo a $\text{Hom}(G_0/G_1, -)$ , o de forma equivalente, $F$ está representado por $G_0/G_1$ .