Prueba de la convergencia de $ \int \limits_0^{\infty} \cos\left(x^2\right) dx $

Question

¿Cómo se puede demostrar la convergencia de $$ \int_0^{\infty} \cos\left(x^2\right) \,\mathrm dx $$

Intenté utilizar la prueba integral de convergencia observando que al hacer la sustitución $u = x^2$ significa que puedes escribir la integral en la forma

$$ \int_0^{\infty} \frac{1}{2\sqrt{u}}\cos(u) \space \mathrm{du}$$

No estoy seguro de lo que hay que hacer aquí - pensé en reescribir el coseno como una serie de Taylor, y luego aplicar la prueba integral, pero no creo que eso funcione.

Answer 1

La convergencia de dicha integral se deduce del análogo continuo del criterio de Dirichlet para la convergencia de una serie.

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Criterio de Dirichlet: Si $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una secuencia con la propiedad de que las sumas parciales $\sum_{k=0}^n a_k$ están acotados, y $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una secuencia decreciente que converge a cero, la serie $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n b_n $$ es convergente. La prueba se basa en la suma por partes.

Criterio de Dirichlet (versión integral): Si $f(x)$ es una función de Riemann-integrable con la propiedad de que $\int_{0}^{x}f(t)\,dt$ está acotado para cualquier $x\geq 0$ y $g(x)$ es una función continua decreciente sobre $\mathbb{R}^+$ tal que $\lim_{x\to +\infty}g(x)=0$ entonces $f\cdot g$ es una función integrable de Riemann sobre $\mathbb{R}^+$ .

La prueba se basa en la integración por partes.

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Para aplicar el último criterio, basta con tomar $f(x)=\cos x$ y $g(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Answer 2

Esta es una forma brutal de demostrar la convergencia de la integral dada. Tenemos la siguiente fórmula

\begin {Ecuación} \int_0 ^ \infty \cos ax^2 \cos 2bx\, dx= \frac {1}{2} \sqrt { \frac { \pi }{2a}} \left ( \cos \frac {b^2}{a}+ \sin\frac {b^2}{a} \right ) \end {Ecuación}

La prueba detallada puede verse aquí: Integrales tipo Duo Fresnel $(??)$

Por lo tanto, el establecimiento de $a=1$ y $b=0$ obtenemos \begin {Ecuación} \int_0 ^ \infty \cos x^2\, dx= \frac {1}{2} \sqrt { \frac { \pi }{2}}= \sqrt { \frac { \pi }{8}} \end {ecuación} Adenda de la prueba en el enlace citado, podemos utilizar el hecho \begin {Ecuación} \int_ {- \infty }^ \infty e^{-ax^2}\N-, dx= \sqrt { \frac { \pi }{a}} \end {Ecuación}

Answer 3

Puedo darle una forma rápida de tratar esta cuestión:

En primer lugar se observa que su función es continua en $[0,+\inf[ $

Así que su integral está definida en [0,1] por ejemplo:

I(X) = $\int_{[0,X]} cos(t^2)dt = \int_{[0,1]} cos(t^2)dt + \int_{[1,X]} cos(t^2)dt = A + I_1(X)$

$ I_1(X) = \int_{[1,X]} 2t*\frac{cos(t^2)}{2t}dt $ = $[\frac{sin(t^2)}{2t}]_1^X + \int_{[1,X]} \frac{sin(t^2)}{2t^2}dt $

El primer término es una constante y un término que ->0 cuando x->inf. El segundo se verifica:

$|g(t)| = |\frac{sin(t^2)}{2t^2}| \leq \frac{1}{2t^2} $ => g integrable en [1,+inf[ , porque está dominada por una función integrable en [1, +inf[

Por lo tanto, $I_1(X)$ tiene un límite cuando X->inf, y también lo tiene su integral