¿Proyección en un subespacio?

Question

Que $S$ sea un subespacio distinto de cero con base ortogonal $(v_1, \ldots, v_k)$. Entonces la proyección de $u$ en $S$ viene dado por:

$$\operatorname{proj}_S u = \frac {v_1 \dot{} u}{\operatorname{norm} (v_1)^2}v_1 + \cdots + \frac {v_k \dot{} u}{\operatorname{norm}(v_k)^2}v_k$$

¿Por qué la base debe ser ortogonal? ¿No la misma fórmula le permite "extraer" los componentes incluso si la base no ortogonal?

Answer 1

Ciertamente, hay una manera de encontrar la proyección si no existe una base ortogonal, pero es más complicado. Dicen que usted tiene los dos vectores ortogonales $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$. La proyección del vector $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ en el primero de estos vectores es encontrado por su fórmula para ser $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ y la proyección sobre el segundo es $\begin{bmatrix} 3/2 \\ 3/2 \\ 0 \end{bmatrix}$. Si las agregas, obtendrá $\begin{bmatrix} 5/2 \\ 3/2 \\ 0 \end{bmatrix}$. Pero la proyección ortogonal de que el tercer vector en el espacio generado por los dos primeros, es en realidad $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$. Así, para que la fórmula anterior para dar resultados correctos, usted necesita ortogonalidad.

En general, la proyección ortogonal del vector $x\in\mathbb R^{n\times1}$ sobre el espacio generado por las columnas de una $n\times k$ matriz $M$ de la fila $k$ es $$ M(M^\top M)^{-1}M^\x superior. $$ (Si $k=n$ $M(M^\top M)^{-1}M^\top$ $n\times n$ matriz identidad; si $k<n$, $M(M^\top M)^{-1}M^\top$ $n\times n$ matriz de rango $k$. La matriz es el medio que se invierte es un $k\times k$ matriz).

Answer 2

Es posible que observe que el componente de $v_1$ es extraído por $u \cdot v_1/|v_1|^2$. El vector $v_1/|v_1|^2$ puede ser denotado $v^1$, y se llama un recíproco (o dual) base de vectores. Cuando una base es ortogonal, todos los vectores de la base de la reciprocidad, también son ortogonales y tomar en este sencillo formulario.

Cuando no existe una base ortogonal, las expresiones para el recíproca de los vectores de la base son considerablemente más complejos. En tres dimensiones, que se obtienen mediante la utilización de los productos cruzados:

$$v^1 = \frac{v_2 \times v_3}{v_1 \cdot [v_2 \times v_3]}$$

En general $N$-dimensiones del espacio, la interpretación geométrica es que la base de la reciprocidad de los vectores normales a hyperplanes formado por los otros vectores de la base. $v^1$ es el vector normal al plano generado por $v_2, v_3$ en este caso, y la magnitud se elige de modo que $v_1 \cdot v^1 = 1$.