Pullbacks de paso a través de la adición

Question

Estoy teniendo problemas en el seguimiento de la prueba de la Proposición I. 5.2 en Goerss-Jardine (Simplicial Homotopy Teoría). Después de establecer la contigüidad $\hat\Delta(X\times K,Y) \simeq \hat\Delta(K,[X,Y])$, afirman que los diagramas de la forma

corresponden a través de la exponencial contigüidad a los diagramas de la forma

donde $i\colon K\hookrightarrow L$ es de inclusión, y $p\colon X\to Y$ es un fibration, y el retroceso es inducida por

Me imagino que esto es a nivel de trivial manipulaciones con la contigüidad, pero no puedo llegar a salir a la derecha (principalmente no está seguro de cómo ir desde el pullback a la pushout).

Answer 1

A mitad de camino a través de escribir mi respuesta he visto que t.b. ya se lo dieron. Ya que parece que soy incapaz de comentar algo, dejo este comentario como una respuesta. El problema original es, sin duda no es trivial debido a que hay más de un par de adjoint functors: usted tiene $(-)\times K \dashv [K,-]$ y $(-)\times L\dashv [L,-]$.

La falta de concepto es el de conjugar natural transformaciones, como se explica en Mac Lane CWM (Sección IV-7): supongamos $F,F':\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{A}$ y $G,G':\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{X}$ son functors con $F\dashv G$ $F'\dashv G'$. Dos naturales de los mapas de $\alpha: F\rightarrow F'$ $\beta: G'\rightarrow G$ (nota direcciones opuestas) son conjugadas si los diagramas $$ \matriz{ & \mathcal{A}(F, x,a) & \cong & \mathcal{X}(x,G a) & \cr \mathcal{A}(\alpha_x,a) &\Big\downarrow& &\Big\downarrow& \mathcal{X}(x,\beta_a)\cr & \mathcal{A}(Fx,a) & \cong & \mathcal{X}(x,Ga) & } $$ conmutar para todos los objetos $x\in\mathcal{X}$, $a\in\mathcal{A}$, donde el mapas horizontales son los isomorphisms dada por adjointness. De hecho, cualquier $\alpha: F\rightarrow F'$ determina un único conjugado $\beta=\alpha^*: G'\rightarrow G$ (tome $x=G'a$ e iniciar con $id_{G'a}$ en el esquina superior derecha).

En la situación de la inclusión del mapa de $i:K\hookrightarrow L$ da un natural mapa de $(-)\times i:(-)\times K\rightarrow (-)\times L$ y la correspondiente el conjugado es $i^*:[L,-]\rightarrow [K,-]$ dado por la precomposición con $i$. Esto está muy bien ya nombrado $i^*$ en su esquema, aunque con objetos que se dejan caer de la notación.

Siempre me he preguntado por qué esta noción de conjugar las transformaciones nunca se hizo explícita en los libros de topología algebraica aunque se usa todos los tiempo.

Answer 2

Aparte de la realización de un tanto largo diagrama de chase, la única cosa aquí es de notar que dar un mapa $(a,b) : A \to [K,X] \mathrel{\times_{[K,Y]}} [L,Y]$ cantidades para dar un diagrama conmutativo como en la izquierda, por la característica universal de la pull-back $\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}$

mientras que el diagrama de la derecha es equivalente a por la contigüidad entre el producto cartesiano y el interior de la $\Hom$ y el definiciones de $p_\ast$$i^\ast$.

Permítanme darles nombres a los mapas en la primera conmutativo el diagrama de la la prueba de preguntar acerca de:

El mapa de $f: \Lambda_{k}^n \to [L,X]$ corresponde a un mapa $\tilde{f}: \Lambda_{k}^n \times L \to X$ mientras que el mapa de la parte inferior $(g,h) : \Delta^n \to [K,X] \mathrel{\times_{[K,Y]}} [L,Y]$ equivale a cualquiera de los dos diagramas conmutativos

El uso de la característica universal de la pull-back definición $[K,X] \mathrel{\times_{[K,Y]}} [L,Y]$ vemos que la afirmación de la conmutatividad de la plaza empezamos con equivale a dar el mapa de $f: \Lambda_{k}^n \to [L,X]$, el conmutativa plaza de $(1)$, y que requiere de las dos plazas

para ser conmutativa.

Pasando a la adjoint lado usando el mapa de $\tilde{f} : \Lambda_{k}^n \times L \to X$ y el cuadrado $\widetilde{(1)}$, la conmutatividad de las plazas $(2)$ $(3)$ es equivalente a los dos conmutativa plazas

En este punto creo que puedo dejar a contemplar la conmutativa diagramas $\widetilde{(1)}$, $\widetilde{(2)}$ y $\widetilde{(3)}$ y el empuje de la plaza la definición de $(\Lambda_{k}^n \times L) \mathrel{\cup_{(\Lambda_{k}^n \times K)}} (\Delta^n \times K)$ and to think about what it means to define a map from $(\Lambda_{k}^n \times L) \mathrel{\cup_{(\Lambda_{k}^n \times K)}} (\Delta^n \times K)$ en fin a ver que darle a las plazas $\widetilde{(1)}$, $\widetilde{(2)}$ y $\widetilde{(3)}$ y que requieren de su conmutatividad es equivalente a otorgar a la propiedad conmutativa de la plaza

como afirma Goerss y Jardine.