Eliminar duplicados de las columnas de una infinita matriz: puede siempre hemos acabado?

Question

Considere la posibilidad de un countably infinito matriz $M$ cuyas entradas provienen de un conjunto finito $S$. Deje $C$ ser un conjunto de representantes del conjunto de clases de equivalencia bajo entrywise igualdad de columnas de a $M$. Deje $M'$ ser la matriz producida por la eliminación de la columna de $i$ y la de la fila $i$ $M$ siempre $\vec{m}_i \notin C$. Llame a $M'$ un "reducto" de $M$. Llamar a una matriz de $A$ "la reducción de la" si $A$ es un reducto de sí mismo. Deje $M_1,M_2,...$ ser una secuencia de matrices donde $M_1 = M$ $M_{n+1}$ es un reducto de $M_n$.

Pregunta: ¿la secuencia, finalmente, llegar a una reducción de la matriz?

La idea es que queremos eliminar todos los duplicados de las columnas de a $M$, y sus correspondientes filas. Pero un reducto $M'$ $M$ podría no ser libre de duplicados (reducido), si las dos columnas de en $M'$ diferían en $M$ sólo en las filas que se eliminan. Si la matriz es finito siempre obtenemos una reducción de la matriz con el tiempo. Pero si es infinito no somos como lo que yo puedo decir, y me pregunto si alguien puede producir un ejemplo en el que esto sucede.

Answer 1

Deje $M_{ij} = 0$$j<i+2$. El resto de las entradas debe ser $1$ en las filas que son los números al cuadrado y $2$ lo contrario. En otras palabras la parte superior derecha de la región está llena de filas de $1$$2$, pero de contrapartida para las primeras dos columnas son ambos cero.

$$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &... \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 &\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 &\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 &\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 &\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 &\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 &\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &\\ ...&&&&&&&&&&&... \end{array} \right)$$

Sólo dos columnas son iguales, $1$$2$, y lo que sea que elija la eliminación de la correspondiente fila y columna nos deja con una nueva matriz donde una vez más, sólo dos columnas son iguales. Cada vez que se elimina una fila de un nuevo par de columnas del partido. Esto es más evidente si nos sigue eligiendo a quitar la primera fila y la columna. La alternancia 2 1 patrón impide la matriz de convertirse en un Reducto de sí mismo.