¿El cuadrado de un mínimo de dos correlaciona Normal de las variables tienen una distribución chi-squared?

Question

Si las variables aleatorias $X$ $Y$ están distribuidos normalmente con una media de $\mu = 0$ y la desviación estándar $\sigma = 1$, a continuación, defina la variable aleatoria $Z = \min(X, Y )$. El problema es demostrar que $Z^2$ sigue una distribución gamma con parámetros a $(\alpha = 1/2, \lambda= 1/2)$ (es decir, una distribución chi-squared).

Tengo: $$P(Z^2 \le z) = P((\min\{X,Y\})^2 \le z) =P\left(-\sqrt{z}\le \min(X,Y)\le \sqrt{z}\right) \\ = P\left(-\sqrt{z}\le X\le \sqrt{z}, -\sqrt{z}\le Y\le \sqrt{z}\right) $$ Pero no estoy seguro de dónde ir de aquí, ya que las variables aleatorias no son asumidos para ser independiente. Agradecería cualquier sugerencias!

Answer 1

El resultado no es cierto.

Como contraejemplo, vamos a $(X,Y)$ estándar márgenes Normales con una cópula de Clayton, como se ilustra en http://stats.stackexchange.com/a/30205. La generación de 10.000 independiente de la realización de este bivariante de distribución, como se muestra en la parte inferior izquierda de la figura, se produce 10.000 realizaciones de $Z^2$ que claramente no se siga un $\Gamma(1/2,1/2)$ distribución (en una prueba de Chi-cuadrado de ajuste, $\chi^2=121, p \lt 10^{-16}$). Los gráficos qq en la parte superior de la figura confirmar que los marginales aspecto Normal estándar, mientras que el qq plot en la parte inferior derecha indica la parte superior de la cola de $Z^2$ es demasiado corto.

El resultado puede ser probado bajo la suposición de que la distribución de $(X,Y)$ es de forma centralizada simétrica: es decir, cuando es invariante en forma simultánea negación de ambos $X$$Y$. Esto incluye todos los bivariante Normales (con una media de $(0,0)$, por supuesto).

La idea clave es que para cualquier $z \ge 0$, en el caso de $Z^2 \le z^2$ es la diferencia de los eventos de $X \ge -z\cup Y \ge -z$$X \ge z \cup Y \ge z$. (El primero es donde el mínimo es de no menos de $-z$, mientras que el segundo se descarta que el mínimo supera $z$.) Estos eventos a su vez se puede descomponer de la siguiente manera:

$$\Pr(Z^2 \le z^2) = \Pr(X\ge -z) - \Pr(Y \le -z) + \Pr(X,Y\lt -z) - \Pr(X,Y\gt z).$$

The central symmetry assumption assures the last two probabilities cancel. The first two probabilities are given by the standard Normal CDF $\Phi$, yielding

$$\Pr(Z^2 \le z^2) =1 - 2\Phi(-z).$$

That exhibits $Z$ as a half-normal distribution, whence its square will have the same distribution as the square of a standard Normal, which by definition is a $\chi^2(1)$ distribution.

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This demonstration can be reversed to show $Z^2$ has a $\chi^2(1)$ distribution if and only if $\Pr(X,Y\le-z) = \Pr(X,Y\ge z)$ for all $z\ge 0$.

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Aquí es el R código que genera las figuras.

library(copula)

n <- 1e4
set.seed(17)
xy <- qnorm(rCopula(n, claytonCopula(1)))
colnames(xy) <- c("X", "Y")
z2 <- pmin(xy[,1], xy[,2])^2

cutpoints <- c(0:10, Inf)
z2.obs <- table(cut(z2, cutpoints))
z2.exp <- diff(pgamma(cutpoints, 1/2, 1/2))
rbind(Observed=z2.obs, Expected=z2.exp * length(z2))
chisq.test(z2.obs, p=z2.exp)

par(mfrow=c(2,2))
qqnorm(xy[,1], ylab="X"); abline(c(0,1), col="Red", lwd=2)
qqnorm(xy[,2], ylab="Y"); abline(c(0,1), col="Red", lwd=2)

plot(xy, pch=19, cex=0.75, col="#00000003", main="Data")

qqplot(qgamma(seq(0, 1, length.out=length(z)), 1/2, 1/2), z2,
       xlab="Theoretical Quantiles", ylab="Z2",
       main="Gamma(1/2,1/2) Q-Q Plot")
abline(c(0,1), col="Red", lwd=2)