Ejemplo de un reordenamiento que se bifurca

Question

Yo sé que cualquier condicional convergente la serie tiene un reordenamiento que diverge. Por ejemplo, si tenemos $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{ n} $$ ¿qué es un reordenamiento que diverge?

Answer 1

No se si ayuda pero:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} = \underbrace{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}}_{S_1} - \underbrace{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}}_{S_2}$$

Pero $S_1$ $S_2$ divergen.

Answer 2

Vamos $S=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$, $a_n\ge0$, es condicionalmente convergente.

Para obtener una divergente reordenamiento de $S$, usted puede tomar ventaja del hecho de que la suma de los términos positivos de $S$ diverge a $\infty$. Entonces, dado cualquier $N$, usted puede encontrar una $M $, de modo que la suma de los sucesivos términos positivos, $a_{2N}+a_{2(N+1)}+\cdots+ a_{2( N+M)}$ es tan grande como te gusta.

Luego de construir el reordenamiento tomando la suma de los sucesivos términos positivos hasta que supere $1$ (o cualquier número positivo fijo). Añadir entonces el primer término negativo. A continuación, agregue el siguiente bloque de los sucesivos términos positivos cuya suma supere $1$. A continuación, agregue el siguiente término negativo. Y así sucesivamente.

Usted necesita tener cuidado para agotar todos los términos de la serie (lo que de hecho tienen un reordenamiento). Si no, el resultado del reordenamiento se divergencia de la secuencia resultante de las sumas parciales no serán de Cauchy.

Uno puede escribir un ejemplo claro de un divergentes reordenamiento (como he intentado hacer en los comentarios de su ejemplo).