Entiendo que la prueba real Fraenkel da pero no puedo ver cómo resulta la elección independiente de la plena ZF porque él trabaja en una muy restringido universo. Puede alguien mostrar cómo conectar una a la otra?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
user27515
Puntos
214
Para demostrar que AC es independiente de ZF (o ZFA, como fue hecho en Fraenkel del modelo) sólo se necesita para la construcción de un modelo de ZF(a) en que el Axioma de Elección se produce un error. Por Gödel Teorema de Completitud, se deduce que el CA no puede ser probada de ZF(A) (a menos de ZF(A) es incompatible).
La estructura exacta del modelo es importante: no necesitamos "todos los conjuntos" a estar presentes (lo que significa). Todo lo que importa es que el habitual de los axiomas de ZF(A) se cumplen en el modelo y que AC falla (utilizando el modelo usual de la teoría de la noción de satisfacción).
También, creo que no me dicen demasiado, mediante la afirmación de que Fraenkel mucho menos restrictiva que la de Gödel Edificable Universo, el cual fue utilizado para mostrar la consistencia relativa de CA a ZF.
La prueba es que si ZFC+Átomos tiene un modelo de ZF+$\lnot$CA+Átomos es consistente.
Por lo tanto, no podemos demostrar el axioma de elección de los axiomas de ZF+Átomos.
La eliminación de los átomos no se produce durante 40 años hasta que Cohen desarrollado forzar, y Gödel demostró que el axioma de elección no agregar contradicciones a ZF.
