¿Hay una explicación del concepto de ¿por qué la característica 2 es especial?

Question

La estructura de la multiplicación de los grupos de Z/pZ o de Z_p es el mismo para los impares, números primos, pero no para 2. La reciprocidad cuadrática tiene un uniforme de instrucción para los impares, números primos, pero una instrucción adicional para 2. Así, en estos ejemplos característicos 2 es un desordenado caso especial.

Por otro lado, ciertos tipos de cuestiones combinatorias puede ser reducido al álgebra lineal de más de F₂, y esta relación no parece extenderse a otros campos finitos. Así, en este ejemplo característico 2 es un buen caso especial.

Es algo profundo pasando aquí? (Tengo una vaga idea acerca de inversos aditivos y análisis de Fourier sobre Z/2Z, pero voy a esperar a ver qué dicen los demás.)

Answer 1

Creo que hay dos fenómenos en el trabajo, y, a menudo, uno puede separar las conductas en base a si son "causado por" uno o el otro (o ambos). Uno de los fenómenos es la pequeñez de 2, es decir, la expresión de p-1 se muestra al describir muchas características de p y de p-ádico estructuras y las propiedades cualitativas de estas estructuras va a cambiar mucho dependiendo de si p-1 es uno o mayor que uno. Por ejemplo:

• La adición de una primitiva p-ésima raíz de la unidad z a P_p rendimientos totalmente ramificado campo de extensión de grado p-1. La valoración de 1-z es 1/(p-1) veces la valoración de la p. Este es un largo camino de decir que -1 radica en Q₂.
• El grupo de unidades en el primer campo de una característica campo p tiene orden p-1. Esta es la diferencia entre la banalidad y la nontriviality.
• Como usted ha mencionado, algunos combinatoria de las preguntas pueden ser formuladas en lenguaje Booleano y atacó con álgebra lineal.

El otro fenómeno es el de la uniformidad de 2. Estándar ejemplos:

• La negación tiene un trivial de punto fijo. Esto le da una manera de explicar por qué hay 4 raíces cuadradas de 1 mod 2^n (para n grande), pero sólo 2 en el 2-ádico límite. Si se combina esto con la pequeñez, encontrará que la negación no hace nada, y esto añade una gran cantidad de sutileza para el estudio algebraico de los grupos (o, en general, espacios vectoriales con formas).
• La Naturaleza invariante es un peso p-1 de forma modular, y las impares de peso formas se comportan de manera diferente, incluso de peso formas, especialmente en términos de elevación de característica cero, nivel 1. Esto es un poco relacionado con David en la mención de abelian variedades - he escuchado que algunos Albanese "variedades" en carácter 2 no son reducidos.

Answer 2

Tal vez esto no es muy alto concepto, pero siempre he pensado que el "pecado original" de la 2 era que existe un número entero que es una segunda raíz de la unidad, que no ocurre para cualquier otro primer.

¿Por qué es este? Bien, una manera de pensar en ello como esto: en campos de la característica p, pth, raíces de la unidad deben ser trivial (y en general, tomando raíces de pth es una mala idea), así que campos de la característica 2 son particularmente incompatibles con los enteros, puesto que tienen que destruir -1.

Answer 3

Yo creo que 2 no es especial, sólo vemos las barbaridades a las 2 anteriores a la rareza en impares, números primos.

Por ejemplo, considere Ext_E(x)(F_p , F,_p) donde E(x) denota el exterior de álgebra de más de F_p. Si p=2 este es un polinomio de álgebra en una clase x₁ en grado 1 y si p es impar este es un exterior de álgebra en una clase x₁ tensor de un polinomio de álgebra sobre x₂. Me dicen que estos son los mismo, generado por x₁ y x₂ en ambos casos, y con un p-pliegue Massey producto < x₁,...,x₁>=x₂. La única diferencia es que 2 veces Massey producto es simplemente un producto.

¿En qué sentido son los p-ádico enteros Z_p de la misma? Una forma de decirlo es que si el estudio de la algebraica de K-teoría de Z_p a encontrar que la primera de torsión es en grado 2p-3. Si p=2 esto es de grado 1, y K₁(A) las medidas de las unidades de a (para Una razonable anillo). Si p es impar mide algo más complicado. Otra manera de decirlo es que Z_p es el primer Morava estabilizador de álgebra y hay algo especial acerca de la n-esima Morava estabilizador de álgebra en p si p-1 divide a n. Si vas a estudiar algo como topológica de las formas modulares, esto significa que los números primos 2 y 3 son especiales.

El doble de álgebra de Steenrod es generado por \xi_i a p=2 y por \xi_i y \tau_yo en impares, números primos. Pero realmente es generado por \tau_yo con un p-pliegue Massey producto < \tau_i,...,\tau_i>=\xi_i+1 a todos los primos, después de cambiar el nombre de los generadores en p=2. (De nuevo 2 veces Massey producto es solo un producto.)

Podría seguir, pero tal vez esto es suficiente por ahora.

Answer 4

$x\mapsto x^2$ es (1-1) automorphism en los campos de la característica 2, mientras que es de 2-1 en $F_q\setminus{0}$ si q es impar. No es un alto nivel de concepto, pero aquí es donde todas las cosas cuadrática (reciprocidad, residuos, etc.) se rompen.

Answer 5

Es el antropocentrismo. Si fuéramos estrellas de mar, tendríamos que pensar que el primer $5$ era el raro.