La prueba del teorema fundamental del álgebra en el Bebé Rudin

Question

Estoy leyendo Rudin la prueba de FTA.

(FTA) Supongamos $a_0, \ldots, a_n$ son números complejos, $n \geq 1$, $a_n \neq 0$, $P(z) = \sum_{k = 0}^n a_k z^k$. A continuación, $P(z) = 0$ algunos $z \in \Bbb{C}$.

La primera parte de la prueba que va como esto:

WLOG, supongamos $a_n = 1$. Vamos $\mu = \inf_{z \in \Bbb{C}} |P(z)|$. $\lim_{z \to \infty} |P(z)| = \infty$ (los detalles omitidos). Por lo tanto, no es $R_0 >0$ tal que $|z| > R_0 \implies |P(z)| > \color{red}{\mu}$. Desde $|P|$ es continua en el cerrado de la bola de $\overline{B_{R_0}(0)}$, el valor extremo teorema muestra que $|P(z_0)|=\mu$ algunos $z_0$.

Sin embargo, no creo que la declaración en negrita es precisamente lo que él quería decir. Específicamente, "hay $R_0>0$ tal que $|z|> R_0 \implies |P(z)| > \mu$" no implicará la existencia de $z_0 \in \overline{B_{R_0}(0)}$ tal que $|P(z_0)|=\mu$:

Por ejemplo, si consideramos la función exponencial $f(z) = e^z$, $\mu = 0$ $f(z) \neq 0$ todos los $z \in \Bbb{C}$. En particular, $|z| > 1 \implies |f(z)|>0$. Y $|f|$ es continua en el cerrado de la bola de $\overline{B_1(0)}$. Pero no es cierto que no es $z_0 \in \Bbb{C}$ tal que $f(z_0)=0$.

En este ejemplo, $\lim_{z \to \infty} |f(z)| \neq \infty$$\inf_{|z|\leq 1} |f(z)| = e^{-1}\neq \mu$. Así que creo que la condición de $\lim_{z \to \infty} |P(z)| = \infty$ pueden ser mejor utilizados para mostrar que $\inf_{|z|\leq R_0} |P(z)| = \mu$.

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Por lo tanto, yo creo que él realmente quiso decir lo siguiente:

Por lo tanto, no es $R_0>0$ tal que $|z|>R_0 \implies |P(z)|>\mu+1$. Deje $A = \overline{B_{R_0}(0)}$$B = \Bbb{C} \backslash A$. Ahora desde el contrapositivo, $|P(z)|\leq \color{red}{\mu+1} \implies z \in A$.

Pero $\mu+1>\mu:=\inf_{z \in \Bbb{C}}|P(z)|$. Así que hay algo de $z_1 \in \Bbb{C}$ tal que $|P(z_1)|<\mu +1$. Anterior muestra que el $z_1 \in A$. Ahora pretendemos que $\inf_{z \in \Bbb{C}} |P(z)| = \inf_{z \in A} |P(z)|$.

Elija cualquiera de los $z \in \Bbb{C}$. Si $z \in A$,$|P(z)| \geq \inf_{z \in A} |P(z)|$. Si $z \in B$, luego $$|P(z)| > \mu+1 > |P(z_1)| \geq \inf_{z \in A} |P(z)|$$ De modo que $\inf_{z \in A} |P(z)|$ es un límite inferior y $\inf_{z \in A} |P(z)|\leq \inf_{z \in \Bbb{C}} |P(z)|$. Para $A \subset \Bbb{C}$, $\inf_{z \in \Bbb{C}} |P(z)|\leq \inf_{z \in A} |P(z)|$ y tenemos $\inf_{z \in \Bbb{C}} |P(z)|= \inf_{z \in A} |P(z)|= \mu$.

Desde $|P|$ es continua en el conjunto compacto $A$, el valor extremo teorema muestra que $|P(z_0)|= \mu$ algunos $z_0 \in A$.

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Mis preguntas son,

(1) he interpretado que la primera parte de la prueba correctamente? (Hecho)

La evidencia completa se adjunta a continuación. Ya he pasado por el resto de la prueba y entiendo la lógica. Al parecer, sólo se utiliza el hecho de que $\forall \ z \in \Bbb{C}$, $z = |z|e^{i \theta}$ para algunos $\theta \in [0,2\pi)$.

(2), Pero no a cualquier parte de la prueba que implica indirectamente relacionados a cualquier concepto/teorema de análisis complejo? Yo no sé nada sobre análisis complejo aún así, ¿alguien puede proporcionarme algunas de las palabras clave?

Answer 1

Ninguna parte de la prueba de este teorema se basa en cualquier análisis complejo distinto de lo que Rudin ya se ha desarrollado en este capítulo. Rudin ya ha introducido los números complejos como las propiedades de la función exponencial, el último de los cuales se discutió en la sección anterior, en el mismo capítulo.

Answer 2

La costumbre complejo-analítica de la prueba se divide en dos pasos.

Paso 1. Si $p(z)$ no tiene ceros, a continuación, $\dfrac{1}{p(z)}$ está acotada.

La prueba de esto es esencialmente igual a lo que ya se ha hecho. Para $|z| > R_0$ tenemos $|p(z)| > \mu + 1$ y, por tanto, $\frac{1}{|p(z)|} < \frac{1}{\mu + 1}.$ $|z| \le R_0$ tenemos una función continua en un compacto conjunto de lo que va a ser limitada.

Nada en este paso es el material que es único para el análisis complejo (es decir, que no puede ser encontrado en el análisis real).

Paso 2. Cada acotado, compleja función derivable es constante.

Esto es algo que no sucede en los reales. Por ejemplo, $\frac{1}{1 + x^2}$ es limitada y diferenciable en todas partes. En el plano complejo, esta función golpes cerca de $\pm i$. Para $\sin(x)$ uno tiene

$$ \sin(ix) = \frac{e^{i(ix)} - e^{-i(ix)}}{2i} = \frac{e^{-x} - e^{x}}{2i} $$

que sopla como $x \to \infty$.

Paso 2 se llama Louville del Teorema. La prueba de los usos de Cauchy de la Integral de la Fórmula que dice que si $f$ es complejo diferenciable en todas partes, a continuación, el $n$-ésima derivada en $z_0$, $f^{(n)}(z_0)$ puede ser calculada mediante la integración a lo largo de un camino cerrado en torno a $z_0$ hacia la izquierda (por ejemplo, a lo largo de un círculo) por

$$ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n + 1}} dz.$$

Para demostrar Louville del teorema dejamos $\gamma = \gamma_R$ ser el círculo centrado en $z_0$ radio $R$. A continuación, en $\gamma_R$, $|z - z_0| = R$. Por lo tanto, si $|f(z)| \le M$ es limitada

\begin{align} |f^{(n)}(z_0)| &= \left\lvert \frac{n!}{2\pi i} \oint_{\gamma_R} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n + 1}} dz \right\rvert \\ &\le \frac{n!}{2\pi} \oint_{\gamma_R} \left\lvert \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n + 1}} \right\rvert dz \\ &= \frac{n!}{2\pi} \oint_{\gamma_R} \frac{M}{R^{n + 1}} dz \\ &= \frac{n!}{2 \pi} \frac{M}{R^{n + 1}} \operatorname{length}(\gamma_R) \\ &= n!\frac{M}{R^n} \end{align}

desde $\operatorname{length}(\gamma_R) = 2\pi R$ (la circunferencia de un círculo con un radio de $R$). Ahora tomando la $R \to \infty$ se sigue que $f^{(n)}(z_0) = 0$ todos los $n \ge 1$. Por lo tanto $f$ es constante.

Para la comparación de la prueba en Rudin del libro es más directa. Si uno se para definir una línea entre el complejo real y análisis análisis de Cauchy de la Integral Fórmula sería una parte importante de la distinción. Desde Rudin no uso de Cauchy de la Integral de la Fórmula, creo que es seguro decir que la prueba no implica el análisis complejo de alguna manera.