Puede cualquier innumerables dimensiones reales de espacio vectorial en un espacio de Banach?

Question

En cualquier espacio vectorial real $V$ de innumerables dimensión , podemos definir siempre una norma que dotó con dicha norma , $V$ se convierte en un completo normativa espacio lineal ? ( Sé que se puede hacer si $V$ es finito dimensionales, pero lo que si $V$ es infinito dimensional ? Lo único que sé es que cualquier infinitas dimensiones de Banach espacio debe ser de innumerables dimensión )

Answer 1

Yo no soy una teoría de conjuntos experto, pero yo diría de la siguiente manera:

Comience con su favorito espacio de Banach $B$, se olvida de su métrica, y considerar sólo su estructura de espacio vectorial. Como un espacio vectorial, $B$ posee una base de Hamel $(e_\iota)_{\iota\in I}$ de una cierta cardinalidad $|I|$.

Ahora bien, si la dimensión de su espacio vectorial $V$ es igual a $|I|$ puede copiar la estructura de espacio de Banach de $B$ a $V$.