¿Fórmula para completar el cuadrado?

Question

Mi profesor de matemáticas dijo que ésta era la fórmula para completar el cuadrado.

Función original: $$ax^2 + bx + c$$ Plaza completa: $$a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c$$

Sin embargo, utilizando esta fórmula no estoy obteniendo las mismas respuestas que obtendría determinando las cosas yo mismo. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\begin{align*}a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c&=a\left(x^2+2\left(\frac{b}{2a}\right)x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)- \frac{b^2}{4a} + c\\ &=a\left(x^2+\left(\frac{b}{a}\right)x+\frac{b^2}{4a^2}\right)- \frac{b^2}{4a} + c\\ &=\left(ax^2+bx+\frac{b^2}{4a}\right)- \frac{b^2}{4a} + c\\\\ &= ax^2+bx+c \end{align*}$$ por lo que la fórmula es correcta. Prueba a introducir los números $a$ , $b$ y $c$ que está utilizando para cada paso aquí y ver donde comienzan a diferir; eso será donde su error es.

Answer 2

Para el polinomio $4x^2+4x+5$ que mencionas, yo no utilizaría la fórmula, ya que está bastante claro que $4x^2 +4x$ es "casi" $(2x+1)^2$ . De hecho, $(2x+1)^2=4x^2+4x+1$ Así que $4x^2+4x+5=(2x+1)^2-1+5=(2x+1)^2+4$ .

En general, supongamos que $a \ne 0$ y queremos ocuparnos de $ax^2+bx+c$ . Multiplicar la expresión por $4a$ y para mantener las cosas sin cambios, dividir por $4a$ . Obtenemos $$ax^2+bx+c=\frac{1}{4a}(4a^2x^2 +4abx +4ac).$$ Pero $4a^2x+4abx$ es casi el cuadrado de $2ax+b$ . De hecho, $4a^2x^2+4abx=(2ax+b)^2-b^2$ . De ello se desprende que $$4a^2x^2+4abx+4ac=(2ax+b)^2-(b^2-4ac),$$ así que $$ax^2+bx+c=\frac{1}{4a}\left((2ax+b)^2-(b^2-4ac)\right).$$ La fórmula es útil tal y como está, y más agradable de trabajar que la fórmula del post. Podemos transformarla para que se parezca a esa fórmula multiplicando la parte superior e inferior del frente por $a$ y utilizando el hecho de que $\frac{1}{4a^2}(2ax+b)^2=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ .

Comentario: Si queremos derivar el Fórmula cuadrática no necesitamos molestarnos en dividir por $4a$ , para $ax^2+bx+c=0$ si $4a^2+4abx+4ac=0$ . Completa el cuadrado como en el caso anterior. Obtenemos $$ax^2+bx+c=0 \qquad\text{if and only if}\quad (2ax+b)^2=b^2-4ac,$$ y estamos a un par de pasos de la Fórmula Cuadrática.

Es importante: No hay que intentar recuerde una fórmula para completar el cuadrado. Lo que hay que entender es el proceso El idea . Los estudiantes, sobre todo los bendecidos (?) con buena memoria, descubren que a lo largo del bachillerato pueden alcanzar el éxito fácilmente memorizando fórmulas. Averiguar lo que realmente sucede puede parecer a corto plazo más trabajo, pero durará.

Answer 3

Normalmente encuentro que completar el cuadrado a mano para cada ejemplo es mejor que usar la fórmula.

Para su ejemplo, $$4x^2 + 4x + 5 = 4\left(x^2 + x + \frac{5}{4}\right).$$ Es de la forma $x^2 + x + \mathrm{const}$ para que encuentres un número $a$ tal que $(x+a)^2 = x^2 + x + \mathrm{const}$ . La solución es $a=\frac{1}{2}$ , dando $$4x^2 + 4x + 5 = 4\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \mathrm{const}$$ Expandiendo el lado derecho, se encuentra que la constante es $4$ por lo que la expresión completa es $$4x^2 + 4x + 5 = 4\left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + 4 = (2x + 1)^2 + 4$$

Answer 4

Permítame derivarlo para usted,

$$ax^2+bx+c= a \left( x^2+\frac{b}{a} x +\frac ca \right) = a\left(x^2+2\frac{b}{2a} x + \left( \frac b{2a} \right) ^2 - \left( \frac b{2a} \right) ^2+\frac ca \right)$$ $$= a \left\{ \left(x+\frac{b}{a}\right)^2 - \frac{(b^2-4ac)}{4a^2} \right\} = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c$$

Por cierto, ¿cómo se aplica esto?