Primer grupo de mortinatos

Question

Deje $F$ ser un quasicoherent gavilla en un esquema de $X$, que se supone debe ser lo suficientemente agradable.

Hace uno entonces tiene un isomorfismo canónico

$Ext^1(F,F) \simeq H^1(X, \underline{End}(F))$,

donde con $\underline{End}(F)$ I denotar la gavilla de endomorphisms de $F$.

Sé que esto tiene para $F$ localmente libre, pero he leído un artículo donde esta la iso también fue utilizado para quasicoherent $F$, pero no veo cómo demostrarlo.

Answer 1

Hay una secuencia espectral $$E_2^{i,j} := H^i(X,\underline{Ext}^j(\mathcal E,\mathcal F)) \implies Ext^{i+j}(\mathcal E,\mathcal F),$$ para dos poleas $\mathcal E$ $\mathcal F.$ (Aquí se $\underline{Ext}$ denota gavilla Ext.) Mirando el bajo grado implicaciones de esto, se encuentra una secuencia exacta $$0 \H^1(X, \underline{Hom}(\mathcal E,\mathcal F)) \a Ext^1(\mathcal E,\mathcal F) \H^0(X,\underline{Ext}^1(\mathcal E,\mathcal F)) \H^2(X,\underline{Hom}(\mathcal E,\mathcal F)) \a \cdots.$$ Tomando $\mathcal E = \mathcal F$, el primer mapa es el que usted está preguntando acerca de. Si $\mathcal F$ es localmente libre de $\underline{Ext}^1$ se desvanece, y uno obtiene el isomorfismo que la recordó. En general, esta $\underline{Ext}^1$ necesidad de no desaparecer, el mapa correspondiente en la secuencia exacta tampoco tiene por qué desaparecer, y por lo que habrá una inyección $$H^1(X,\underline{End}(\mathcal F)) \hookrightarrow Ext^1(\mathcal F)$$ que no es surjective.

[Añadido: Un ejemplo típico sería vienen de la toma de la $\mathcal F$ un rascacielos en un punto, con $X$ positivo dimensiones.]