¿Cuál es la intuición para utilizar la definición para comparar matrices?

Question

Si $a$ y $b$ son dos números en la recta real, comparamos $a$ y $b$ sabiendo cuál de ellos es el primero al pasar de $-\infty$ a $\infty$ en la línea real.

Sin embargo, cuando $A$ y $B$ son matrices, la comparación es a través de la definición. Decimos $A \succ B$ si $A-B$ es definida positiva. La definición positiva de $A$ significa $x^TAx>0\ \forall x$ ; esencialmente la función $f(x)=x^TAx$ tiene la forma de un cuenco con su base en el origen.

¿Cómo ayuda este "cuenco" a comparar dos matrices? ¿Cuál es la intuición detrás del uso de la definición en las matrices para ordenarlas?

Answer 1

¿De dónde has sacado tu definición?

Creo que puedes estar confundiendo la notación aquí. $A \succ B$ es simplemente una notación utilizada para indicar que $A$ y $B$ son matrices simétricas del mismo tamaño tales que $A - B$ es positiva definida. La razón por la que se utiliza esta notación es porque hay ciertas propiedades (monótonas) que estas matrices satisfacen. Por ejemplo, si $A \succ B$ entonces $\lambda(A) > \lambda(B)$ .

Ahora, hay otra relación similar que dice $A \succeq B$ que se utiliza para expresar que $A$ y $B$ son matrices simétricas del mismo tamaño tales que $A - B$ es semidefinido positivo. Ahora bien, esto también tiene propiedades (monotónicas) similares a la relación anterior.

Sin embargo, una cosa sobre el $\succeq$ es que sí define un orden parcial sobre todas las matrices simétricas (Puedes tomar esto como un ejercicio, es bastante fácil de demostrar). Esto se llama ordenación de Lowner. En este sentido, se puede decir que estamos comparando $A$ con $B$ . Pero de nuevo, hay que entender que no es para matrices arbitrarias, sólo para matrices simétricas. Además, esta ordenación es parcial y no total.

Answer 2

La relación de comparación que describes sólo tiene sentido para matrices simétricas, ya que $x^TSx=0$ para toda matriz asimétrica $S$ y, por lo tanto, esta relación trataría cualquier matriz como igual a su simetrización. Las matrices simétricas se corresponden con las formas cuadráticas asociando a $A$ la forma cuadrádica $x\mapsto x^TAx$ (se puede recuperar la matriz a partir de la forma cuadrática), y la relación $A\succ B$ significa exactamente que la forma cuadrádica asociada a $A$ toma en todas partes valores estrictamente mayores que la forma cuadrádica asociada a $B$ Es decir $x^TAx>x^TBx$ para todos $x$ (excepto para $x=0$ que debería haber excluido en su definición). Cuando este es el caso, es bastante natural considerar que $A$ domina $B$ . Si se define $A\succeq B$ por $x^TAx\geq x^TBx$ para todos $x$ (advertencia: esto incluye los casos en los que ni $A\succ B$ ni $A=B$ ), entonces esto define un ordenamiento parcial en las matrices simétricas. Lo de "parcial" se debe a que hay muchos pares $A,B$ en la cual ninguno de los dos $A\succeq B$ ni $A\preceq B$ se mantiene: la forma cuadrática para $A$ toma valores mayores que los de $B$ en algunos vectores, y valores más pequeños para otros vectores.

Answer 3

En realidad, no nos interesa el comportamiento del gráfico de la función $f(x) = x^T Ax$ que no sea el firmar de esta función. Consideremos el caso de $a,b$ como dos números en la recta real. Entonces se puede pensar en ellos como $1 \times 1$ matrices que actúan sobre $\mathbb{R}^1$ vectores. Entonces se puede determinar si $a$ y $b$ son positivos, respectivamente, observando las funciones $f(x) = ax^2$ y $g(x) = bx^2$ y ver si las parábolas apuntan hacia arriba o hacia abajo (o, como decía un antiguo profesor mío, alegres o tristes). En realidad, no nos preocupan los valores concretos que toman estas funciones, salvo para inspeccionar su signo.

Subiendo esto a $n$ -dimensiones, el mapa $f(x) = x^T A x$ es una forma cuadrática $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ y, como has dicho, sus gráficos parecen "cuencos" en $n$ -espacio dimensional. Cada sección transversal de este gráfico parece una parábola "feliz". Si uno de los valores propios de $A$ es negativo en lugar de positivo, entonces algunas secciones del gráfico serán "tristes".

Answer 4

Supongamos que $A$ y $B$ simétrica y definida positiva. Las matrices definidas positivas son diagonalizables y son equivalentes (es decir, conjugadas) a una matriz diagonal definida positiva. Más concretamente tenemos lo siguiente.

Tenemos que $A\succ B$ si, sólo si, todos los valores propios de $A-B$ son positivos y distintos, es decir $\lambda_1(A-B)=u_1^T(A-B)u_1>\lambda_2(A-B)=u_2^T(A-B)u_2>\dots >\lambda_{n-1}(A-B)=u_{n-1}^T(A-B)u_{n-1}>\lambda_n(A-B)=u_n^T(A-B)u_n>0$ . Aquí $u_1,\dots,u_n$ son los vectores propios unitarios de $(A-B)$ .

Por lo tanto, una forma intuitiva de comparar dos matrices $A,B$ en este orden parcial equivale a comparar los valores propios de la matriz diagonal de $A-B$ whit $0$ .

Answer 5

Esta es una forma de comparar formas cuadráticas, más que matrices. $A\prec B$ significa exactamente que la forma cuadrática asociada a $B$ domina puntualmente a la asociada a $A$ . Además, esto explica por qué sólo se puede pedir de esta manera simétrico matrices: son las que corresponden bijetivamente a las formas cuadráticas.