¿Grupo aditivo no abeliano?

Question

A veces veo en los libros el término "grupos abelianos aditivos". En mi opinión, cuando usamos la adición para representar la operación de grupo, ya tenemos en mente que la operación es conmutativa. Así que grupo aditivo significa grupo abeliano. ¿Me equivoco? ¿Existen "grupos aditivos no abelianos"?

Cito esto de un libro:

"...se demuestra que cualquier grupo aditivo $M$ admite una multiplicación escalar por enteros, y si $M$ es abeliana, se satisfacen las propiedades para que $M$ a $Z$ -módulo ..."

Por qué el autor tiene que decir "si $M$ es abeliano", dado que se dice que es aditivo?

Si la adición no se supone abeliana, entonces es una operación binaria general, por lo que el autor decía " ... se demuestra que cualquier grupo $M$ admite una multiplicación escalar por enteros y si $M$ es abeliana, se satisfacen las preperiencias para que $M$ a $Z$ -módulo ..." ¿Correcto?

Answer 1

En grupo abeliano aditivo la palabra "aditivo" se refiere al símbolo utilizado para la operación $({+})$ y, en principio, no tiene nada que ver con que el grupo sea abeliano. Es cierto que en la mayoría de los casos se utiliza la notación aditiva para los grupos abelianos (o, más generalmente, para las operaciones conmutativas), pero esto no es universal.

Por ejemplo, las dos operaciones sobre los anillos cercanos suelen denominarse suma y multiplicación, pero no es necesario que la suma sea conmutativa, aunque un anillo cercano debe ser un grupo con respecto a la suma (véase http://en.wikipedia.org/wiki/Near-ring ).