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Artin conductor de un personaje y factorización a través de $(\mathbb{Z} / N\mathbb{Z})^{*}$

Esto es de Serre documento sobre representaciones modulares de grado $2$$Gal(\bar{\mathbb{Q}} : \mathbb{Q} ) $.

Consideramos que una representación de la $\rho : Gal(\bar{\mathbb{Q}}:\mathbb{Q}) \rightarrow GL(2,\bar{\mathbb{F}}_p)$ y su determinante $det \rho$. Podemos definir la (global) Artin conductor de $N(\rho)$ $\rho$

$$N(\rho) = \prod_{l \neq p} l^{n(l,\rho)} $$

Donde $n(l,\rho)$ el (local) Artin conductor de $\rho$ $l$ ($0$ si y sólo si $\rho$ es unramified).

La comparación de las fórmulas para $N(\rho)$$N(det \rho)$,$N(det \rho) | pN(\rho)$.

Por lo tanto, podemos factor de $det \rho$ a través de $(\mathbb{Z} / pN(\rho)\mathbb{Z})^{*}$.

Estoy buscando una prueba de la última declaración. Me han dicho que es bastante simple hecho de campo de la clase de teoría, pero me parece que no puede encontrar en cualquier lugar.

Gracias de antemano!

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benh Puntos 5591

El determinante $\det \rho$ incluso factores a través de $(\mathbb{Z}/pN(\det\rho)\mathbb{Z})^\times$. Esto se desprende de un resultado en el local de campo de la clase teórica conductor en $l$: Decir su representación factores en el finito abelian grupo de Galois de algunos de extensión de la $L|\mathbb{Q}$. Para un primer $l\neq p$ elegir un primer $\lambda$ se encuentra por encima del $l$ $L$ y denotan por $G$ la descomposición grupo $G:=D_{\lambda|l} \subseteq Gal(L|\mathbb{Q})$, que podemos identificar con $Gal(L_\lambda|\mathbb{Q}_l)$ . A continuación global de la clase de teoría de campo le da un surjective mapa de la ideles de $\mathbb{Q}$

$$\mathbb{I}_\mathbb{Q}/\mathbb{Q}^\times \to Gal(L|\mathbb{Q})$$

que factores sobre los $Gal(\mathbb{Q}^{ab}|\mathbb{Q})$. Clase de teoría del campo le dice a usted que usted obtenga un diagrama conmutativo $$\requieren{AMScd} \begin{CD} \mathbb{I}_\mathbb{Q}/\mathbb{Q}^\times @>>> Gal(L|\mathbb{Q}) @>>> \overline{\mathbb{F}}_p^\times\\ @AAA @AAA \\ \mathbb{Q}^\times_l @>\phi_l>> Gal(L_\lambda|\mathbb{Q}_l) \end{CD}$$ (Si usted sigue las notas por J. Milne, este es el diagrama en la página 11). Ahora si $L|\mathbb{Q}$ es unramified en$l$, $\mathbb{Z}^\times_l$ ya está en el núcleo de $\phi_l$. En general, el local de conductor de la clase de teoría de campo es el más pequeño de $n$ tal de que el subgrupo $1+l^n\mathbb{Z}_l\subseteq \mathbb{Z}_l^\times$ está contenida en el núcleo de la composición,$\mathbb{Z}^\times_l \hookrightarrow \mathbb{Q}^\times_l \to Gal(L_\lambda|\mathbb{Q_l})$, que es el más pequeño de $n$ de manera tal que el mapa de factores como

$$\requieren{AMScd} \begin{CD} \mathbb{Q}^\times_l @>\phi_l>> G\\ @AAA @AAA \\ \mathbb{Z}^\times_l @>>> (\mathbb{Z}/l^n\mathbb{Z})^\times \end{CD}$$

La conexión de los dos tipos de conductores, a continuación, por el siguiente resultado agradable relacionados con el local de conductor de la clase de teoría del campo a la ramificación de los grupos de $G$ en la parte superior de numeración:

Tenemos $1+l^n\mathbb{Z}_l \subseteq \ker \phi_l$ si y sólo si $G^n= 1$

(Si te gusta una referencia, esto es una consecuencia de la XV §2 en Serre local de campos).

Usted será capaz de averiguar a partir de ahí el uso de un poco de la teoría algebraica de números de entrada acerca de cómo $\mathbb{I}_\mathbb{Q}$ $Gal(\mathbb{Q}^{ab}|\mathbb{Q})$ aspecto.

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