El determinante $\det \rho$ incluso factores a través de $(\mathbb{Z}/pN(\det\rho)\mathbb{Z})^\times$. Esto se desprende de un resultado en el local de campo de la clase teórica conductor en $l$: Decir su representación factores en el finito abelian grupo de Galois de algunos de extensión de la $L|\mathbb{Q}$. Para un primer $l\neq p$ elegir un primer $\lambda$ se encuentra por encima del $l$ $L$ y denotan por $G$ la descomposición grupo $G:=D_{\lambda|l} \subseteq Gal(L|\mathbb{Q})$, que podemos identificar con $Gal(L_\lambda|\mathbb{Q}_l)$ . A continuación global de la clase de teoría de campo le da un surjective mapa de la ideles de $\mathbb{Q}$
$$\mathbb{I}_\mathbb{Q}/\mathbb{Q}^\times \to Gal(L|\mathbb{Q})$$
que factores sobre los $Gal(\mathbb{Q}^{ab}|\mathbb{Q})$. Clase de teoría del campo le dice a usted que usted obtenga un diagrama conmutativo
$$\requieren{AMScd}
\begin{CD}
\mathbb{I}_\mathbb{Q}/\mathbb{Q}^\times @>>> Gal(L|\mathbb{Q}) @>>> \overline{\mathbb{F}}_p^\times\\
@AAA @AAA \\
\mathbb{Q}^\times_l @>\phi_l>> Gal(L_\lambda|\mathbb{Q}_l)
\end{CD}$$
(Si usted sigue las notas por J. Milne, este es el diagrama en la página 11). Ahora si $L|\mathbb{Q}$ es unramified en$l$, $\mathbb{Z}^\times_l$ ya está en el núcleo de $\phi_l$. En general, el local de conductor de la clase de teoría de campo es el más pequeño de $n$ tal de que el subgrupo $1+l^n\mathbb{Z}_l\subseteq \mathbb{Z}_l^\times$ está contenida en el núcleo de la composición,$\mathbb{Z}^\times_l \hookrightarrow \mathbb{Q}^\times_l \to Gal(L_\lambda|\mathbb{Q_l})$, que es el más pequeño de $n$ de manera tal que el mapa de factores como
$$\requieren{AMScd}
\begin{CD}
\mathbb{Q}^\times_l @>\phi_l>> G\\
@AAA @AAA \\
\mathbb{Z}^\times_l @>>> (\mathbb{Z}/l^n\mathbb{Z})^\times
\end{CD}$$
La conexión de los dos tipos de conductores, a continuación, por el siguiente resultado agradable relacionados con el local de conductor de la clase de teoría del campo a la ramificación de los grupos de $G$ en la parte superior de numeración:
Tenemos $1+l^n\mathbb{Z}_l \subseteq \ker \phi_l$ si y sólo si $G^n= 1$
(Si te gusta una referencia, esto es una consecuencia de la XV §2 en Serre local de campos).
Usted será capaz de averiguar a partir de ahí el uso de un poco de la teoría algebraica de números de entrada acerca de cómo $\mathbb{I}_\mathbb{Q}$ $Gal(\mathbb{Q}^{ab}|\mathbb{Q})$ aspecto.