Valor máximo de la función dado el valor mínimo

Question

Supongamos que existe una función $f(x)=\frac{x^2-2x+b}{x^2+2x+b}$ (el problema no lo especifica, pero estoy asumiendo que $b$ es un real) que tiene un valor mínimo de $\frac{1}{2}$ . ¿Cuál es el valor máximo de $f(x)$ ?

Mi primer instinto fue dividir todo, consiguiendo que $f(x)=1-\frac{4x}{x^2+2x+b}$ . A partir de ahí, no sé qué hacer.

Estoy buscando una solución que no implique el cálculo.

Answer 1

Considere $$y=\frac{x^2-2x+b}{x^2+2x+b}$$ O $$(y-1)x^2+2(y+1)x+b(y-1)=0$$ En esta ecuación cuadrática en $x$ para aquellos valores de $y$ que existen en el rango, debe existir un valor(es) real(es) de $x$ .

Por lo tanto, el discriminante $\geq 0 $ . $$4(y+1)^2-4b(y-1)^2\geq0$$ $$(1-b)y^2+2y(1+b)+(1-b)\geq0$$

Ahora bien, esto es una cuadrática en $y$ que nos proporcionará los valores de $y$ en el rango. Más concretamente, aquellos valores de $y$ que satisfaga esta desigualdad estará en el rango.

Sabemos que $y=\frac{1}{2}$ es el punto inicial del rango, por lo que la desigualdad debe ser exactamente $0$ en $y=\frac{1}{2}$ . $$\frac{1-b}{4}+(1+b)+(1-b)=0$$ Es decir $b=9$ .

Eso nos proporciona el otro extremo de la desigualdad al resolverla, $$-8y^2+20y-8\geq0$$ $$2y^2-5y+2\geq0$$ Así que $$\frac{1}{2}\leq y \leq 2$$