Resolución de una ecuación exponencial

Question

$$3^{x-1}+3^{x-2}+3^{x-3}=3159$$

Otra ecuación exponencial que me cuesta, la respuesta está dada y es igual a : $8$ . Estoy absolutamente seguro de que estoy haciendo un paso equivocado en algún lugar en el camino. Se agradece cualquier ayuda.

EDITAR:

$$3^{x-3}(\frac{1}{8}+\frac{1}{243}+1)=3159$$

Aquí es donde estoy ahora. Si esto es correcto, debería ser bastante sencillo a partir de aquí. Pero parece que no llego al 8 como respuesta final.

Answer 1

Puede utilizar $3^{x-1} = 9 \cdot 3^{x-3}$ y $3^{x-2} = 3 \cdot 3^{x-3}$ para conseguir

$$3^{x-1}+3^{x-2}+3^{x-3} = 3^{x-3} (9 + 3 + 1) = 3^{x-3} \cdot 13 = 3159$$

Dividiendo ambos lados por $13$ da

$$3^{x-3} = 243 = 3^5$$

Así que entonces $x - 3 = 5$ o de forma equivalente $x = 8$ .

Answer 2

Yo probaría a factorizar $3^x$ primero, y aislando: $$\begin{align*} 3^{x-1} + 3^{x-2} + 3^{x-3} &= 3159\\ 3^x\left(3^{-1} + 3^{-2} + 3^{-3}\right) &= 3159\\ 3^x &= \frac{3159}{3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}} \end{align*}$$ Para una mayor floritura, $$\begin{align*} \frac{3159}{3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}} &= \frac{3159}{\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3}}\\ &= \frac{3159}{\quad\frac{9 + 3 + 1}{3^3}\quad}\\ &= \frac{3^3(3159)}{13}\\ &= \frac{3^3(3^5)(13)}{13}\\ &= 3^8. \end{align*}$$ Ahora ves que tu ecuación es equivalente a $$3^x = 3^8.$$