Por qué, en $u$-sustitución si $u$ aparece a la $-1$ de la energía se convierte en equivalente para la $\ln u$? Yo no tengo un problema específico que ese es el caso, pero si recuerdo que esto sea una regla de oro. Puede alguien explicar esto a mí?
Respuestas
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Byung-Cheol Cho
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83
La verdadera respuesta viene de análisis real como Alex se explicó anteriormente. Pero sospecho que quieres una respuesta intuitiva. Si $\int \frac{1}{u}\,du = \ln u$, esto es básicamente lo mismo que decir que $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$.
Recordemos que $\ln u$ es la función inversa de la $e^u$, y que podría haber llegado a través de este teorema: dado suficiente la diferenciabilidad de las condiciones, $\frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Si $f(u) = e^u$,$f^{-1}(u) = \ln u$$\frac{d}{du}e^u = e^u$, lo $\frac{d}{du}f^{-1}(u) = \frac{1}{f'(f^{-1}(u))} = \frac{1}{e^{\ln u}} = \frac{1}{u}$.
Esto no es una buena prueba de matemática normas, pero tal vez se muestra de dónde viene esto.
\begin{align} \int_1^xu^{-1}\operatorname d\!u&=\lim_{\epsilon\to0}\int_1^xu^{\epsilon-1}\operatorname d\!u\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\left(\frac{x^\epsilon}\epsilon-\frac{1^{\epsilon}}\epsilon\right)\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\frac{x^\epsilon-1}\epsilon\\ &(\rm{L'H\hat opital\ with\ respect\ to\ }\epsilon)\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\frac{(\ln x)x^\epsilon-0}1\\ &=\ln x \end{align}
Alex
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La razón por la $\int_1^x \frac 1u du= \ln x$ es debido a que simplemente lo que se define a ser. Entonces el teorema fundamental del cálculo nos dice que la antiderivada debe ser el integrando y por lo $\int \frac 1xdx = \ln x +C$. El logaritmo natural se definió originalmente como esta integral y todas sus propiedades se clasifican directamente desde el este y el teorema fundamental del cálculo, por ejemplo, debe quedar muy claro ahora, ¿por $\ln 0$ is undefined! Si usted comienza a aprender más acerca de análisis real, usted aprenderá todo sobre él!
