Primos como una diferencia de poderes

Question

Encontrar los primos más pequeños que no puede ser escrito como
$$|3^a - 2^b|$$

EDIT: se me olvidó mencionar que $a$ $b$ son números enteros.

He intentado expandir$3^a$$(2+1)^a$, usando el teorema del binomio, pero no pude inferir mucho. Por favor, ayudar. Gracias de antemano!

Answer 1

$41$ es la respuesta.

Para $41=3^a-2^b$, claramente $b \not =0, 1, a \not =0$. $\pmod{3}$ da $b$ a, $\pmod{4}$ da $a$ incluso. A continuación,$41=(3^{\frac{a}{2}}-2^{\frac{b}{2}})(3^{\frac{a}{2}}+2^{\frac{b}{2}})$, lo $3^{\frac{a}{2}}-2^{\frac{b}{2}}=1, 3^{\frac{a}{2}}+2^{\frac{b}{2}}=41$, lo cual es claramente imposible.

Para $41=2^b-3^a$, claramente $b \geq 3$. $\pmod{8}$ da una contradicción.

Nota:$2=3^1-2^0, 3=2^2-3^0, 5=2^3-3^1, 7=3^2-2^1, 11=3^3-2^4, 13=2^4-3^1, 17=3^4-2^6, 19=3^3-2^3, 23=3^3-2^2, 29=2^5-3^1, 31=2^5-3^0, 37=2^6-3^3$.

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P. S. Tratar este problema en su lugar:

Determinar si existen infinitos números primos $p$ s.t. $p$ no puede ser expresado como la suma o la diferencia de un poder de $2$ y una potencia de $3$, es decir,$p \not =|3^a \pm 2^b|$.

Answer 2

$2$. La segunda sustraendo es siempre $0~ (\text{mod}~ 2)$ y la primera nunca es, por lo que su diferencia no puede ser nunca $\pm2$.

Muy bien, no hay ningún menor de los números primos para comprobar.

Si, por otro lado, $a$ $b$ puede ser cero, luego de romper el problema en ocho Pell ecuaciones y resolver el conjunto secuencialmente a través de los números primos hasta encontrar un alojamiento que no puede ser resuelto en el formulario que desee. La Pell ecuaciones son: \begin{align} x^2 - y^2 &= p \\ -(x^2 - y^2) &= p \\ 3x^2 - y^2 &= p \\ -(3x^2 - y^2) &= p \\ x^2 - 2y^2 &= p \\ -(x^2 - 2y^2) &= p \\ 3x^2 - 2y^2 &= p \\ -(3x^2 - 2y^2) &= p \end{align} Este conjunto de ecuaciones de Pell viene de la consideración de los exponentes para ser pares o impares. Si el exponente es impar, el extracto de una potencia de $2$ o $3$ como coeficiente y el resto exponente es par. Las cosas, incluso con exponentes son cuadrados. Para cada uno de los prime, $p$, a ver si alguno de estos Pell ecuaciones se pueden resolver con $x$ un poder de $3$ $y$ un poder de $2$. Si no, usted ha encontrado la solución.

\begin{align} 2 &: &3 \cdot 1^2 - 1^2 = &|3^1 - 2^0| = 2 \\ 3 &: &-(1^2 - 2^2) = &|3^0 - 2^2| = 3 \\ 5 &: & &|3^2 - 2^2| = 5 \\ & & &|3^1 - 2^3| = 5 \\ 7 &: & -(3^2 - 4^2) = &|3^2 - 2^4| = 7 \\ & & 3^2 - 2 \cdot 1^2 = &|3^2 - 2^1| = 7 \\ & & -(1^2-2 \cdot 2^2) = &|3^0 - 2^3| = 7 \\ \vdots \\ 37&: & -(3\cdot 3^2 - 8^2) = &|3^3-2^6| = 37 \\ 41&: & \text{no solutions} \end{align} y nos encontramos con 41 es el primer prime con ninguna solución a cualquiera de estos Pell ecuaciones de la forma deseada. (Tiene las soluciones a las ecuaciones de Pell donde no tanto $x$ es una potencia de 3 y $y$ es una potencia de 2, por lo que no de la forma deseada.)

Answer 3

Trató de encontrar todos los números primos por ensayo y error. No recibo ninguna combinación de 41. Así, es una respuesta posible. Corrígeme si me equivoco!