Calculemos la probabilidad de que un rango determinado no esté emparejado. Esto es como colocar 4 bolas en 52 casillas para que no haya casillas ocupadas consecutivamente. El número total de colocaciones (considerando aquí las bolas como indistintas) es claramente
${52 \choose 4} = {{48 + 4} \choose 4}$
Obsérvese que debe ser igual al número de formas de elegir cinco enteros no negativos $\{a_0 a_1 a_2 a_3 a_4\}$ para que sumen 48. (Esto viene por la interpretación de $a_i$ como el número de celdas vacías entre las celdas ocupadas).
Ahora, el número de arreglos sin emparejamientos es similar al anterior, con la restricción de que ${a_1 a_2 a_3}$ debe ser mayor que cero. Pero esto es lo mismo que elegir enteros no negativos $\{a_0 b_1 b_2 b_3 a_4\}$ ( $b_i=a_i-1)$ para que sumen 48-3=45. Entonces, por el argumento anterior, esto debe ser
${45 + 4 \choose 4} = {49 \choose 4} $
Así, la probabilidad de que un rango dado (digamos, K) no forme un par es el cociente de esos números, lo que da $\approx 0.7826$ .
Ahora, podríamos introducir la aproximación de que la probabilidad de que ningún rango esté emparejado es el producto. Esto da
$P \approx 0.7826^{13} \approx 0.0413$
Esto supone la independencia, que no está justificada, pero creo que debería ser una aproximación decente. También creo que la probabilidad real debería ser un poco mayor, porque saber que -digamos- el rango Q no está emparejado me dice que hay más probabilidad de que el rango -digamos- K tampoco esté emparejado.