¿Media geométrica de huecos primos?

Question

La media aritmética de los espacios primos alrededor de $x$ es $\ln(x)$ . ¿Cuál es la media geométrica de los espacios primos alrededor de $x$ ?

¿Depende esto en gran medida de las conjeturas sobre la brecha más pequeña y más grande, como la conjetura de Cramer o la conjetura de los primos gemelos?

Answer 1

En 1976 Gallagher demostró, bajo la suposición de una versión uniforme del Hardy-Littlewood $k$ -conjetura, que para cualquier $\lambda>0$ y enteros $k$ $$\#\{\text{ integers } x\leq X\ :\ \pi(x+\lambda \log x)-\pi(x)=k\}\sim e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}X,$$ es decir, sigue una Distribución de Poisson .

Dado que los tiempos de espera para una distribución de Poisson es un distribución exponencial El trabajo de Gallagher también permite (bajo el supuesto de una conjetura uniforme de Hardy-Littlewood) que para un $\alpha,\beta$ $$\frac{1}{\pi(x)}\#\{n\leq \pi(x):\ g_n\in \left(\alpha \log x, \beta \log x\right)\}\sim \int_\alpha^\beta e^{-t}.$$ Así, la media geométrica de los $g_n$ asintóticamente será igual a $$\exp\left(\frac{1}{\pi(x)}\sum_{n\leq \pi(x)} \log (g_n)\right)\sim \exp\left(\log \log x+\int_0^\infty \log t e^{-t}dt\right).$$ Desde $\int_0^\infty \log t e^{-t}dt=-\gamma$ donde $\gamma$ es el Constante de Euler-Mascheroni y encontramos que la media geométrica es

$$\sim e^{-\gamma}\log x.$$

Answer 2

Pensé que Hardy-Littlewood podría entrar en juego. Aquí hay algunos datos numéricos después de la gran respuesta de Erics:

eje x: N

eje y: Media geométrica de los 10000 primeros huecos primos siguientes $10^N$ dividido por $\ln 10^N$ .

$e^{-\gamma} \approx 0.56146$ .