# Si A y B son dos puntos distintos, entonces existe un punto C tal que .

Question

Por lo tanto, este es el ejercicio:

Que $f$ ser una transformación lineal e inyectiva en $\mathbb {R^n}\rightarrow\mathbb{R^m}$. Para el abuso, vamos a denotar por $\|.\|$ la norma en ambos lados. Mostrar que existe un % constante $c>0$que: $$\|f(x)\|\geq c\|x\| \forall x \in \mathbb{R^n}

Alguien explainded a mí cómo hacer este uno, pero honestamente no entiendo una cosa... Si alguien me puede ayudar como conseguir starded, apreciada!

Answer 1

Hay más maneras de empezar.

1. Alguien mencionó en un comentario que la unidad de la esfera de $B$ $\mathbb R^n$ es compacto, por lo que es su $f$-imagen. No puede contener $0$ debido a la linealidad y de inyectividad, por lo $C:=\displaystyle\underset{x\in B}\min ||f(x)|| >0$ va a ser bueno.

2. Como $f$ es lineal, mediante la fijación de bases, puede ser escrita en la forma $x\mapsto A\cdot x$ para una matriz de $A$. Desde $f$ también es inyectiva, tiene una izquierda inversa, una matriz de $B$, su operador norma $||B||$ será un buen $C$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $f$ es continua. La esfera de la unidad $S^{n-1}\subset\mathbb{R}^n$ es compacto, por lo tanto su imagen $K\subset\mathbb{R}^m$. Puesto que es inyectiva, $f$ $0\not\in K$. Definir $c$ para estar a la distancia entre $0$y $K$. Implica la compactación de $K$ $c>0$. La conclusión entonces sigue de linealidad.