Probar que si $I-A$ es invertible, entonces a $I-A^p$ es invertible en a $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{Z}_p)$.

Question

¿Cómo se puede demostrar que si $I-A$ invertible, entonces a $I-A^p$ es invertible para $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{Z}_p)$ donde $p$ es primo?

Answer 1

Dada la etiqueta (finito de campos), supongo que $\mathbb Z_p$ es el campo finito con $p$ elementos. Entonces podemos argumentar de la siguiente manera.

Considere el polinomio anillo de $\mathbb Z_p[X,Y]$ con indeterminates $X$ $Y.$ No, tenemos $$(X+Y)^p = \sum_{j=0}^p{p\elegir j}X^jY^{p-j}.$$ Nota (o comprobar) que, por $1 \leq j \leq p-1,$ el coeficiente binomial $p\choose j$ es un múltiplo de a $p,$ y por lo tanto $${p\elegir j} = 0\quad\ \mathbb Z_p\quad\ 1 \leq j \leq p-1.$$ Esto implica $$(X+Y)^p = X^p + Y^p\quad\ \mathbb Z_p[X,Y].$$ También, las matrices $I$ $-A$ conmutar (obviamente): $I(-A) = (-A)I.$ por Lo tanto, podemos reemplazar la indeterminates $X$ $Y$ con las matrices $I$ $-A$ (técnicamente hablando, estamos usando una característica universal del polinomio anillos), y a la conclusión de que $$(I-A)^p = I^p + (-A)^p = I-(A^p) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (*)$$ (observar (o comprobar) que $(-A)^p = -(A^p)$ es cierto para cualquier $p$).

De $(*),$ vemos que, si $I-A$ es invertible, entonces a $I - (A^p) = (I-A)^p$ es invertible, ya que un producto de matrices es invertible es invertible.

Answer 2

Los autovalores de a $I-A^p$ son de la forma $1-\lambda^p$ donde $\lambda$ rangos de los valores propios de a $A$, lo $I-A^p$ 0 como soy autovalor si y sólo si $1-\lambda^p=0$ para algunos autovalor $\lambda$$A$. Pero esto es equivalente a $\lambda^p=1$, lo que equivale a $\lambda=1$ (desde el Frobenius mapa de $x \mapsto x^p$ es inyectiva), y este a su vez es equivalente a $I-A$ con 0 como un valor propio.