¿Cómo se puede demostrar que si I−A invertible, entonces a I−Ap es invertible para A∈Matn(Zp) donde p es primo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Dada la etiqueta (finito de campos), supongo que Zp es el campo finito con p elementos. Entonces podemos argumentar de la siguiente manera.
Considere el polinomio anillo de Zp[X,Y] con indeterminates X Y. No, tenemos
(X+Y)p=p∑j=0p\elegirjXjYp−j.
Nota (o comprobar) que, por 1≤j≤p−1, el coeficiente binomial p\choose j es un múltiplo de a p, y por lo tanto
{p\elegir j} = 0\quad\ \mathbb Z_p\quad\ 1 \leq j \leq p-1.
Esto implica
(X+Y)^p = X^p + Y^p\quad\ \mathbb Z_p[X,Y].
También, las matrices I -A conmutar (obviamente): I(-A) = (-A)I. por Lo tanto, podemos reemplazar la indeterminates X Y con las matrices I -A (técnicamente hablando, estamos usando una característica universal del polinomio anillos), y a la conclusión de que
(I-A)^p = I^p + (-A)^p = I-(A^p) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (*)
(observar (o comprobar) que (-A)^p = -(A^p) es cierto para cualquier p).
De (*), vemos que, si I-A es invertible, entonces a I - (A^p) = (I-A)^p es invertible, ya que un producto de matrices es invertible es invertible.
Los autovalores de a I-A^p son de la forma 1-\lambda^p donde \lambda rangos de los valores propios de a A, lo I-A^p 0 como soy autovalor si y sólo si 1-\lambda^p=0 para algunos autovalor \lambdaA. Pero esto es equivalente a \lambda^p=1, lo que equivale a \lambda=1 (desde el Frobenius mapa de x \mapsto x^p es inyectiva), y este a su vez es equivalente a I-A con 0 como un valor propio.