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Probar que si IA es invertible, entonces a IAp es invertible en a Matn(Zp).

¿Cómo se puede demostrar que si IA invertible, entonces a IAp es invertible para AMatn(Zp) donde p es primo?

5voto

jflipp Puntos 2959

Dada la etiqueta (finito de campos), supongo que Zp es el campo finito con p elementos. Entonces podemos argumentar de la siguiente manera.

Considere el polinomio anillo de Zp[X,Y] con indeterminates X Y. No, tenemos (X+Y)p=pj=0p\elegirjXjYpj. Nota (o comprobar) que, por 1jp1, el coeficiente binomial (pj) es un múltiplo de a p, y por lo tanto p\elegirj=0 Zp 1jp1. Esto implica (X+Y)p=Xp+Yp Zp[X,Y]. También, las matrices I A conmutar (obviamente): I(A)=(A)I. por Lo tanto, podemos reemplazar la indeterminates X Y con las matrices I A (técnicamente hablando, estamos usando una característica universal del polinomio anillos), y a la conclusión de que (IA)p=Ip+(A)p=I(Ap)() (observar (o comprobar) que (A)p=(Ap) es cierto para cualquier p).

De (), vemos que, si IA es invertible, entonces a I(Ap)=(IA)p es invertible, ya que un producto de matrices es invertible es invertible.

2voto

Brent Kerby Puntos 3669

Los autovalores de a IAp son de la forma 1λp donde λ rangos de los valores propios de a A, lo IAp 0 como soy autovalor si y sólo si 1λp=0 para algunos autovalor λA. Pero esto es equivalente a λp=1, lo que equivale a λ=1 (desde el Frobenius mapa de xxp es inyectiva), y este a su vez es equivalente a IA con 0 como un valor propio.

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