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5 votos

Probar que si IA es invertible, entonces a IAp es invertible en a Matn(Zp).

¿Cómo se puede demostrar que si IA invertible, entonces a IAp es invertible para AMatn(Zp) donde p es primo?

5voto

jflipp Puntos 2959

Dada la etiqueta (finito de campos), supongo que Zp es el campo finito con p elementos. Entonces podemos argumentar de la siguiente manera.

Considere el polinomio anillo de Zp[X,Y] con indeterminates X Y. No, tenemos (X+Y)p=pj=0p\elegirjXjYpj. Nota (o comprobar) que, por 1jp1, el coeficiente binomial p\choose j es un múltiplo de a p, y por lo tanto {p\elegir j} = 0\quad\ \mathbb Z_p\quad\ 1 \leq j \leq p-1. Esto implica (X+Y)^p = X^p + Y^p\quad\ \mathbb Z_p[X,Y]. También, las matrices I -A conmutar (obviamente): I(-A) = (-A)I. por Lo tanto, podemos reemplazar la indeterminates X Y con las matrices I -A (técnicamente hablando, estamos usando una característica universal del polinomio anillos), y a la conclusión de que (I-A)^p = I^p + (-A)^p = I-(A^p) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (*) (observar (o comprobar) que (-A)^p = -(A^p) es cierto para cualquier p).

De (*), vemos que, si I-A es invertible, entonces a I - (A^p) = (I-A)^p es invertible, ya que un producto de matrices es invertible es invertible.

2voto

Brent Kerby Puntos 3669

Los autovalores de a I-A^p son de la forma 1-\lambda^p donde \lambda rangos de los valores propios de a A, lo I-A^p 0 como soy autovalor si y sólo si 1-\lambda^p=0 para algunos autovalor \lambdaA. Pero esto es equivalente a \lambda^p=1, lo que equivale a \lambda=1 (desde el Frobenius mapa de x \mapsto x^p es inyectiva), y este a su vez es equivalente a I-A con 0 como un valor propio.

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