¿Cómo se puede demostrar que si I−A invertible, entonces a I−Ap es invertible para A∈Matn(Zp) donde p es primo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Dada la etiqueta (finito de campos), supongo que Zp es el campo finito con p elementos. Entonces podemos argumentar de la siguiente manera.
Considere el polinomio anillo de Zp[X,Y] con indeterminates X Y. No, tenemos
(X+Y)p=p∑j=0p\elegirjXjYp−j.
Nota (o comprobar) que, por 1≤j≤p−1, el coeficiente binomial (pj) es un múltiplo de a p, y por lo tanto
p\elegirj=0 Zp 1≤j≤p−1.
Esto implica
(X+Y)p=Xp+Yp Zp[X,Y].
También, las matrices I −A conmutar (obviamente): I(−A)=(−A)I. por Lo tanto, podemos reemplazar la indeterminates X Y con las matrices I −A (técnicamente hablando, estamos usando una característica universal del polinomio anillos), y a la conclusión de que
(I−A)p=Ip+(−A)p=I−(Ap)(∗)
(observar (o comprobar) que (−A)p=−(Ap) es cierto para cualquier p).
De (∗), vemos que, si I−A es invertible, entonces a I−(Ap)=(I−A)p es invertible, ya que un producto de matrices es invertible es invertible.
Los autovalores de a I−Ap son de la forma 1−λp donde λ rangos de los valores propios de a A, lo I−Ap 0 como soy autovalor si y sólo si 1−λp=0 para algunos autovalor λA. Pero esto es equivalente a λp=1, lo que equivale a λ=1 (desde el Frobenius mapa de x↦xp es inyectiva), y este a su vez es equivalente a I−A con 0 como un valor propio.