Productos en la categoría de conjuntos y relaciones (izquierda) totales

Question

Por relación total (o izquierda-total) entiendo una relación binaria $R \subseteq X \times Y$ donde hay, para cada $x \in X$ Al menos una $y \in Y$ con $(x,y) \in R$ . De manera equivalente, me refiero a las relaciones bajo las cuales la proyección a la primera coordenada es una suryección.

Ahora me gustaría ver la categoría en la que

• los objetos son todos conjuntos,
• los morfismos entre dos conjuntos $X,Y$ son todas las relaciones totales $R \subseteq X \times Y$ y
• la composición de dos relaciones totales $R \subseteq X \times Y$ y $S \subseteq Y \times Z$ se da de la siguiente manera: $S \circ R := \{(x,z) \mid \exists y \in Y: (x,y) \in R, (y,z) \in S\}$ .

¿Cuál es el producto de dos conjuntos de esta categoría (si es que existe)? Sé que sería la unión disjunta si se toman TODAS las relaciones como morfismos, pero creo que no es el caso.

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Por definición, si un producto $X \otimes Y$ existe en su categoría $\textbf{Rel}_\textrm{l.t.}$ entonces debe dar una biyección $$\textbf{Rel}_\textrm{l.t.}(Z, X \otimes Y) \cong \textbf{Rel}_\textrm{l.t.}(Z, X) \times \textbf{Rel}_\textrm{l.t.}(Z, Y)$$ Considere el caso $Z = 1$ Para dar una relación izquierda-total $Z \to X$ es lo mismo que dar un subconjunto no vacío de $X$ . Por lo tanto, si $X$ y $Y$ son conjuntos finitos de cardinalidad $n$ y $m$ respectivamente, el lado derecho tiene una cardinalidad $(2^n - 1)(2^m - 1)$ . Pero, asumiendo $n > 1$ y $m > 1$ , $$(2^2 - 1)(2^2 - 1) = 2^{n+m} - 2^n - 2^m + 1 \equiv 1 \not\equiv -1 \pmod 4$$ por lo que no hay posibilidad de $X \otimes Y$ existente en este caso. (Por otro lado, $1 \otimes X \cong X$ y $0 \otimes X \cong 0$ .)

Quizá sea posible que existan productos para conjuntos infinitos, pero no tengo ni idea de cuáles deberían ser.