Cómo calcular el $3*5*17*257-3^{16}$ el uso de la factorización de fórmulas?

Question

mira esto:

$2*4*10*82*6562-3^{16}$

Es fácil calcular que con los elementales de la aritmética.

pero, ¿cómo calcular usando fórmulas de factorización?

Answer 1

$$2\times 4\times 10\times 82\times 6562-3^{16} $$ $$=(3^1-1)(3^1+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)-3^{16}$$ $$=(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)-3^{16}$$ $$=(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)-3^{16}$$ $$=(3^8-1)(3^8+1)-3^{16}$$ $$=(3^{16}-1)-3^{16}$$ $$=-1$$

Answer 2

Sugerencia $\ $ es un radix $\,3\,$ analógica de esta base $\,10\,$ (decimal) cálculo

$\qquad\qquad\qquad\qquad \underbrace{9\cdot 11}\cdot 101\cdot 10001 - 10^8 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \underbrace{99 \cdot 101}$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \underbrace{9999\cdot 10001}$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ \ 99999999 - 10^8\, =\, -1$

Comentario $\ $ En el meollo de la cuestión es la siguiente telescópica producto (en el caso de $\,x=3).\,$ Aviso que el mismo color de todos los términos (en diagonal) cancelar el producto.

$\qquad\qquad\, \displaystyle (x-1)(x+1)(x^2\!+1)(x^4\!+1)\quad\ \ \cdots\quad\ \ \ (x^{2^{\rm N}}\!+1)$

$\qquad\ \ \ = \ \displaystyle \frac{\color{#0a0}{x-1}}{\color{#90f}1} \frac{\color{brown}{x^2-1}}{\color{#0a0}{x-1}}\frac{\color{royalblue}{x^4-1}}{\color{brown}{x^2-1}}\frac{\phantom{f(3)}}{\color{royalblue}{x^4-1}}\, \cdots\, \frac{\color{#c00}{x^{2^{\rm N}}\!-1}}{\phantom{f(b)}}\frac{x^{2^{\rm N+1}}\!-1}{\color{#c00}{x^{\rm 2^N}\!-1}} \,=\, \frac{x^{2^{\rm N+1}}-1}{\color{#90f}1} $

Para más telescópica intuición ver a mi muchos puestos en multiplicativo telescopy.

Answer 3

Sugerencias: $$3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257 = (2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1) = (2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1) = \dots$$

$$2 \cdot 4 \cdot 10 \cdot 82 \cdot 6562 = (3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)=\dots$$

Answer 4

Primero de todos, la respuesta es un número grande. Así que no creo que el valor exacto de los asuntos. Creo que usted está preguntando cómo puede usted "compactify" su respuesta. Estoy asumiendo que su título es su pregunta. Escribo como $(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)-3^{16}$. Se multiplican las 4 grandes términos entre paréntesis por $(2-1)$(no es nada sino $1$). Esto inicia el proceso de la reacción en cadena. Se multiplica por el primer término en el soporte y consigue $(2+1)(2-1)=2^2-1$, que a su vez se multiplica por el término siguiente, entonces el siguiente.... Al fin consigue $2^16-1$. Y por lo tanto su respuesta es $$2^{16}-3^{16}-1$$.