Si $p,q,r$ son los ceros del polinomio $x^3-3px^2+3q^2x-r^3$ entonces demuestre que $p=q=r$ .

Question

Si $p,q,r$ son los ceros del polinomio $x^3-3px^2+3q^2x-r^3$ entonces demuestre que $p=q=r$ . He intentado utilizar el teorema de Vieta pero todavía no he encontrado ningún resultado. Creo que se puede resolver utilizando el teorema de Vieta. O, ¿hay alguna otra manera?

Answer 1

Según los comentarios de Nate y zyx, se supone que el campo base tiene una característica no igual a $2$ , $3$ o $5$ . Sea $$f(x):=x^3-3px^2+3q^2x-r^3\,.$$ Tenemos $f(p)=f(q)=f(r)=0$ . Es fácil (pero no trivial, y esta parte implica divisiones por $2$ , $3$ y $5$ ) para ver que $r=0$ implica que $p=q=0$ . A partir de ahora, se supone que $r\neq 0$ .

Escriba $u:=\frac{p}{r}$ y $v:=\frac{q}{r}$ . Entonces, $f(r)=0$ implica que (con la división por $3$ ) $$v^2=u\,.\tag{1}$$ Introduciendo este resultado en $f(q)=0$ se obtiene $$v^2\left(4v-3v^2\right)=u(4v-3u)=1\,.\tag{2}$$ Eso es, $$(v-1)^2\left(3v^2+2v+1\right)=3v^4-4v^3+1=0\,.\tag{3}$$ Noe, $f(p)=0$ rinde $$u\left(3v^2-2u^2\right)=1\,.\tag{4}$$ De (2) y (4) se obtiene $u\neq 0$ De ahí que $v\neq 0$ por (1). De (2) y (4) se deduce que $$3u-2u^2=3v^2-2u^2=4v-3u$$ o, debido a (1) (con la división por $2$ ), $$v^4=u^2=3u-2v=3v^2-2v\,.\tag{5}$$ Como $v\neq 0$ (5) se convierte en $$(v-1)^2(v+2)=v^3-3v+2=0\,.\tag{6}$$ La única solución a (3) y (6) es $v=1$ . Así, $u=v=1$ o $p=q=r$ .

Answer 2

Utilizando la relación entre las raíces de un polinomio y los coeficientes de sus términos , obtenemos que $$p+q+r=3p\tag1$$ $$pq+qr+pr=3q^2\tag2$$ $$pqr=r^3\tag3$$ Ahora $(1)$ da $q+r=2p$ y $(3)$ da $pq=r^2\tag4$ suponiendo que $r\not=0$ .
Si $r=0$ podemos escribir que $q=2p$ y $p=3q$ lo que significa $p=q=r=0$ .
Así que desde $(2)$ podemos decir ahora que $$r^2+qr+pr=3q^2$$ $$\implies r(r+q)+pr=3q^2$$ $$\implies 2pr+pr=3q^2$$ $$\implies pr=q^2\tag5$$

$(4)$ dividido por $(5)$ da $\frac{pq}{pr}=\frac{r^2}{q^2} \implies q^3=r^3 \implies q=r$ asumiendo que $p \not=0$ . Si $p=0$ entonces se puede demostrar de forma similar que $p=q=r=0$ .

Del mismo modo, también podemos demostrar que $p=q$ .

Espero que esto ayude.

Answer 3

Si los números son reales, esto es cierto independientemente del coeficiente medio (si los números son distintos de cero), y el caso excepcional en el que $r=0$ no presenta ninguna dificultad.

$p$ es la media aritmética, y $r$ la media geométrica, de los tres números $p,q,r$ . Al menos uno de $p$ y $r$ debe ser extremo en el sentido de ser el mayor o el menor de los números. Si la media aritmética $p$ es extremo entonces todos los números deben ser iguales. Si la media geométrica $r$ es extremo y no cero entonces todos los números deben ser iguales.

Si $r=0$ las ecuaciones se convierten en $p+q=3p$ y $pq=3q^2$ que lleva a $p=q=0$ eliminando cualquiera de las dos variables.

Answer 4

He aquí una solución conceptual y generalizable, válida sobre los números complejos.

Cada uno de $|p|,|q|,|r|$ es igual a alguna función de $(p,q,r)$ dependiendo de todos sus argumentos (así $F(p,q,r)=|p|$ no funciona, pero $|p|=|\frac{p+q+r}{3}|$ lo hace), con la propiedad de que:

1. la función no es mayor en valor absoluto que el valor absoluto máximo de sus argumentos
2. si la función es igual al valor absoluto máximo de sus argumentos, entonces todos los argumentos tienen el mismo valor absoluto

Como al menos un número del conjunto tiene que tener el mayor valor absoluto, las propiedades (1) y (2) significan que todos tienen el mismo valor absoluto. Ahora necesitamos un dato más: al menos una de las funciones que computan $|p|,|q|, ...$ debe tener la versión más fuerte de la propiedad (2), es decir

2.+ : si |función| es igual al valor absoluto máximo de sus argumentos, entonces todos los argumentos son iguales.

En el problema actual, la propiedad más fuerte $(2+)$ es cierto para $|p|$ = |media aritmética|, y para la expresión más complicada para $|q|$ pero no para $|r|$ que es la media geométrica de los valores absolutos y no depende de las fases de los números.

Esto implica inmediatamente el grado $n$ generalización del presente problema, pero también puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones (no sólo de las fórmulas de Vieta, y no necesariamente polinómicas) donde los valores absolutos de los números sean algún tipo de media generalizada.

Tampoco es necesario que todos los valores absolutos de |p|, etc. sean funciones de los otros números, sólo que estén acotados por funciones que tengan las propiedades anteriores.