Ya que es una zona tranquila mañana de domingo me deja el polvo de mis células del cerebro y ver si puedo recordar cómo hacerlo. Debemos comenzar por señalar que si la posición inicial y final de la partícula como $\mathbf{r}(t_1)$$\mathbf{r}(t_2)$, entonces la acción es:
$$ S[\mathbf{r}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} \tfrac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2 $$
Vamos a hacer el cambio de $\mathbf{r} \rightarrow \mathbf{r} + \delta\mathbf{r}$, en cuyo caso la acción se convierte en:
$$ S[\mathbf{r} + \delta\mathbf{r}] = \int_{t_1}^{t_2} \tfrac{1}{2}m \left(\dot{\mathbf{r}}^2 + 2\dot{\mathbf{r}}\cdot\delta\dot{\mathbf{r}} + \delta\dot{\mathbf{r}}^2\right) $$
Así que el cambio en la acción es:
$$ \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \tfrac{1}{2}m \left(2\dot{\mathbf{r}}\cdot\delta\dot{\mathbf{r}} + \delta\dot{\mathbf{r}}^2\right) $$
y nosotros hacemos el habitual truco con infinitesimals de ignorar al cuadrado y superior en términos del poder de dar:
$$ \delta S = m\int_{t_1}^{t_2} \dot{\mathbf{r}}\cdot\delta\dot{\mathbf{r}} $$
El siguiente paso es un astuto truco que sólo los más capaces de los físicos supongo que sin ser dicho (yo no :-). Usamos la integración por partes:
$$ \int u\dot v\, dt= uv\bigg|_{\text{end points}} - \int \dot u v\, dt $$
con $u = \dot{\mathbf{r}}$$\dot u = \ddot{\mathbf{r}}$, e $\dot v = \delta\dot{\mathbf{r}}$$v = \delta\mathbf{r}$, y esto nos da:
$$ \delta S = \left[ m\dot{\mathbf{r}}\cdot\delta\mathbf{r} \right]_{t_1}^{t_2} - m \int_{t_1}^{t_2} \ddot{\mathbf{r}}\cdot\delta\mathbf{r} $$
Pero los extremos son fijos por lo $\delta\mathbf{r}(t_1) = \delta\mathbf{r}(t_2) = 0$ y el primer término es cero:
$$ \delta S = -m \int_{t_1}^{t_2} \ddot{\mathbf{r}}\cdot\delta\mathbf{r} $$
En el extremo de la acción $\delta S = 0$, por lo que la integral debe ser cero. Sin embargo $\delta\mathbf{r}$ puede ser cualquier cosa, cualquier variación de $\mathbf{r}$ es permitido. Esto significa que la integral sólo puede ser cero si $\ddot{\mathbf{r}} = 0$, y después de todo este dolor se termina con la primera ley de Newton:
$$ \ddot{\mathbf{r}} = 0 $$
Así que la libre de la partícula tiene una velocidad constante y por lo tanto la constante de la energía cinética.
Ya que alguien seguramente lo menciona (aunque es un poco más allá de mi nivel personal en esta área) Noether del teorema nos dice que si la acción no depende del tiempo, la energía se conserva. Así que en realidad no es necesario todo este trabajo a la conclusión de que la energía cinética no se puede cambiar.
