La fórmula de Euler, ¿es cierta?

Question

*He modificado esta pregunta como se indica a continuación.

Permítanme tener una función como $ f(k) = \exp(j 2 \pi k ) $ , donde $k$ es un valor real.

Utilizando la fórmula de Euler, podemos escribir $f(k)$ como el siguiente,

$$ f(k) = \exp(j 2 \pi k ) = \cos(2\pi k)+j \sin(2\pi k).$$

Si $k$ es un número entero, esto siempre va a 1.

Hasta aquí, nada es raro y tiene sentido.

Sin embargo, si la ecuación va a

$$f(k) = \exp(j2\pi k)=e^{j2\pi k}=(e^{j2\pi})^k = (\cos(2\pi)+j\sin(2\pi))^k=1^k=1$$

Lo que quiero saber es si esta ecuación anterior tiene sentido o no.

Gracias de antemano.

Answer 1

No, en los números complejos no se puede asumir que $(e^a)^b=e^{(ab)}$ . Acabas de encontrar un contraejemplo.

Answer 2

El problema que tienes es que $z^k$ puede ser una función multivaluada, dependiente de $k$ . Como ejemplo básico, todos sabemos que $(2)^2 = 4 = (-2)^2$ . Por lo tanto, también podemos definir $4^{1/2}$ como $+2$ o $-2$ .

Según su argumento, podemos tener (el resultado claramente erróneo) $$ -1 = e^{\pi i} = e^{2 \pi i \cdot {1 \over 2}} = (e^{2 \pi i})^{1/2} = 1^{1/2} = 1.$$ Pero, como en mi ejemplo anterior, pero utilizando $(1)^2 = 1 = (-1)^2$ vemos que podemos definir $1^{1/2}$ como $+1$ o $-1$ . El término de análisis técnico complejo es un ' corte de la rama ' - el uso de uno de ellos le permite definir $z^k$ de forma única.

Ya he respondido antes a una pregunta sobre un tema similar - ¿Por qué obtengo dos resultados diferentes para el recíproco de i? .

Espero que esta respuesta le haya sido útil. Si lo ha sido, por favor, recuerde votar a favor y/o aceptar. ¡Espero que lo entiendas ahora! :)

Answer 3

Siguiendo con Yves Daoust:

$$\left(z^x\right)^y$$ $$=\left(e^{\log \left(z^x\right)}\right)^y=\left(e^{x\log \left(z\right)}\right)^y$$ $$=e^{\log \left(\left(e^{x\log \left(z\right)}\right)^y\right)}=e^{y\log \left(e^{x\log \left(z\right)}\right)}$$ $$= e^{y\left(x\log \left(z\right)+i\left(2nπ\right)\right)}$$ $$=z^{xy} ⋅ e^{i\left(2nyπ\right)}$$

Answer 4

Para exponentes no enteros, la exponenciación $x^y$ sólo está bien definido (denota un único valor) cuando $x$ es un número real positivo; por otro lado $y$ puede ser cualquier número complejo. (Y para la mayoría de los propósitos se puede hacer con sólo usar $x=e=\exp(1)$ pero eso es un tema aparte). Suponiendo que, la norma $x^{y+z}=x^yx^z$ es siempre válida. Sin embargo, la regla de la multiplicación en el exponente tiene una restricción que rara vez se indica explícitamente: $$ x^{yz}=(x^y)^z \qquad \text{provided that $ x>0 $ is real} \textbf{ and that } \text{$ y $ is real.} $$ Tenga en cuenta que no basta con que las expresiones de ambos lados estén definidas En otras palabras, que $x$ y $x^y$ son números reales positivos: ambos lados pueden tener un valor bien definido, pero diferente. El ejemplo de la pregunta lo ilustra (para cualquier valor no entero de $~k$ ).

Ver esta respuesta a una pregunta similar para obtener más detalles, y una prueba de la regla expuesta anteriormente.