Este es un esfuerzo para hacer que esta pregunta fuera de el sin respuesta de la cola.
También aquí yo uso bastante el enfoque general de la clásica de Kelvin-teorema de Stokes.
El teorema de Stokes se lee:
$$
\int_{\partial M} \omega = \int_{M} d\omega.
$$
Por lo tanto
$$
\int_C y\,dx + z\,dy +x\,dz = \pm \int_S d(y\,dx + z\,dy +x\,dz) \\
= \pm\int_S dy\wedge dx + dz\wedge dy + dx\wedge dz.
$$
Por simplicidad elegimos $S$ a superficie plana limitada por la esfera, no el hemisferio delimitadas por el plano. En el avión $z = -x-y$, por lo tanto integral anterior es
$$
\pm 3\int_S dx\wedge dy.\la etiqueta{$\star$}
$$
Natural mediante el parametrización del avión, esta integral se puede interpretar como el área de la superficie proyectada $S$ $xy$- plano (o aviso de $\star dz = dx\wedge dy$). La intersección de a$x+y+z = 0$$x^2 + y^2 + z^2 =a^2$, proyectada en la $xy$-plane, es una elipse.
Los puntos finales para esta proyección en la elipse son: eje menor de los puntos finales son la proyección de $(-1/\sqrt{6},-1/\sqrt{6},2/\sqrt{6} )a$, e $(1/\sqrt{6},1/\sqrt{6},-2/\sqrt{6})a$, obtenido cuando se establezca $x=y$. Podemos calcular la longitud del eje menor es $b = \sqrt{3}a/3$. El eje principal de los puntos finales se logra mediante el establecimiento de $x+y=0$, $(\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2, 0)a$ y $(\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2, 0)a$, la longitud del eje mayor es de sólo $a$. Por lo tanto el área del proyecto es $\sqrt{3}\pi a^2/3$ y volver a conectar a $(\star)$ rendimientos
$$
\int_C y\,dx + z\,dy +x\,dz = \pm \sqrt{3} \pi^2.
$$
El signo depende de $C$ es el elegido para ser girado contra clockwisely o clockwisely con respecto al vector normal al plano $x+y+z=0$.
Para atender a su propia pregunta:
Por qué recibí $\displaystyle \iint_{S} \operatorname{curl} \vec{F} \cdot \vec{n} ~dS = -3 \iint_{A} dA = -3 \pi a^2$ si utilizo $dS = \sqrt{3}dA$, de modo que $n\,dS = (1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})\sqrt{dS} = (1,1,1)$?
Esto no es correcto, por que si se utiliza el elemento área $dS = \sqrt{3} \,dx dy = \sqrt{3} \,dA$, el nuevo $A$ es el proyectado de la elipse en la $xy$-plano, teniendo área de $\sqrt{3}\pi a^2/3$ (véase por favor el argumento de arriba), que no tengan la misma área de $\pi a^2$$S$.
De forma estándar el uso de Kelvin-Stokes como Arturo Magidin señaló en los comentarios: la elección de $C$ gira contador-clockwisely con respecto a la unidad de vectores $n = -(1,1,1)/\sqrt{3}$ normal al plano $x+y+z=0$:
$$
\int_C y\,dx + z\,dy +x\,dz = \int_{S} \nabla \times (y,z,x)\cdot n\dS
\\
= \int_{S} (-1,-1,-1)\cdot (-1,-1,-1)/\sqrt{3} \,dS = \sqrt{3}|S| = \sqrt{3}\pi^2.
$$
