¿Por qué no exigimos más derivados para emparejar en límite al solucionar la ecuación de Schrödinger en un potencial determinado?

Question

A la hora de resolver la vez independiente de la ecuación de Schrödinger para un potencial dado en 1D, la parte principal de la solución implica la concordancia de las condiciones de contorno. Generalmente, se requiere que el valor y la primera derivada para hacer coincidir al límite. Esta forma intuitiva sentido, como nos gustaría que la función de onda para que la coincidencia de valor y la pendiente. Sin embargo, ¿por qué no hacer cumplir la curvatura, y de hecho, los mayores derivados de partido?

Answer 1

Porque en la educación a distancia sólo se necesita $n$ condiciones según el $n$-fin de la educación a distancia, pero estas condiciones podrían estar en el mismo punto, el valor de la función y la derivada, o dos puntos, el valor de la función del primer y último punto del intervalo.

Answer 2

Si estoy interpretar correctamente su pregunta, usted tiene una 1D independiente del tiempo, S. ecuación con $V$ que es discontinua en algunos puntos. Resolver la ecuación por un autovalor $E$ por separado en cada una continuidad intervalo de obtención de las funciones de $\psi_E$ se $C^2$ en cada intervalo abierto y depende de dos constantes arbitrarias. Finalmente mach encontrado funciones en los límites de los diversos intervalos. Usted está preguntando por qué sólo la continuidad y la primera derivada de la continuidad de la requerida en el punto singular y no la continuidad de la derivada segunda.

Considero adecuado autovalores y autovectores asociados en la siguiente.

La razón es técnica. Usted tiene un operador de la forma $$H= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x) \tag{1}$$ and you are looking for eigenfunctions $\Psi_E$, de modo que $$H\psi_E= E\psi_E\:.\tag{2}$$ Como usted probablemente sabe, el operador $H$ debe ser auto-adjunto, de lo contrario no tienen una Hilbert base de vectores propios. Por otro lado, el dominio del operador, $D(H)$, no es todo el espacio, por lo $\psi_E$ debe pertenecer a ese dominio. El punto es que los operadores de la forma (1) no son auto-adjoint cuando definidos en espacios de funciones diferenciables. Sin embargo, son esencialmente auto-adjunto, es decir, $H^\dagger$ es auto-adjunto y $H^\dagger$ es la verdadera energía observable. Así, la física correcta de la ecuación de Schroedinger no es (2), pero es $$H^\dagger \psi_E = E\psi_E\tag{3}$$ donde $\psi_E$ pertenece al dominio más grande de $H^\dagger$, lo que, a su vez, no es un operador diferencial. Utilizando la definición de operador adjunto, (3) puede ser escrito de forma equivalente $$\langle H \phi| \psi_E \rangle = E\langle \phi| \psi_E \rangle \quad \forall \phi \in D(H)\:.$$ Explícitamente $$\int_{\mathbb R} \frac{d^2 \phi}{dx^2}\psi_E(x) dx =\int_{\mathbb R} \frac{2m}{\hbar^2}(V(x)-E)\phi(x) \psi_E(x)\: dx\quad \forall \phi \in D(H)\tag{4}$$ Como suele ser $D(H)\supset C_0^\infty(\mathbb R)$, (4) dice que el $\psi_E$ admite segundo débiles derivados. En este punto, un análisis basado en Weyl elíptica regularidad teoremas demuestra que, si $\psi_E \in L^2$ satisfactorio (4) existe, debe ser $C^2$ en los intervalos donde $V$ es continuo y debe ser $C^1$ en el resto de los puntos.

Answer 3

Aparte de (físicamente motivado) asintótico de conducta en el infinito $|x|\to\infty$, que en realidad no imponer/demanda/requiere cualquier condición en la función de onda $\psi$ más allá de la TICIA (entendido en sentido débil). Continuidad y (posiblemente más) condiciones suaves lugar se deriva de un estándar bootstrap argumento, véase, por ejemplo, mi Phys.SE contesta aquí para más detalles.