Con el apoyo de

Question

Deje $X, Y \sim iid U(0,1)$$c_1, c_2 \in \mathbb{R}$. En la combinación lineal $Z = c_1X+c_2Y$, sabemos que la función de densidad de probabilidad de $Z$ depende de las relaciones de $c_1$$c_2$.

Por ejemplo, cuando se $c_1 > c_2 > 0$, entonces el pdf de $Z$ está dado por

$$ f(z) = \mathbf{1}_{0 \leq z \leq c_2} \dfrac{z}{c_1c_2} +\mathbf{1}_{c_2\leq z \leq c_1} \dfrac{c_2}{c_1c_2} + \mathbf{1}_{c_1 \leq z \leq c_1+c_2} \dfrac{c_1+c_2-z}{c_1c_2}.$$

El rango de la ayuda en este caso es: $[0, c_1+c_2]$.

Si $c_1 >0$ pero $c_2<0$, entonces el soporte sería $[-c_2,c_1]$.

Por simetría, si $c_1 < c_2 < 0$, a continuación, el apoyo se $[-(c_1 + c_2),0]$.

No estoy realmente preocupado por el pdf, sólo el soporte. Por último, ¿qué pasará con el apoyo de más complicado transformaciones como: soporte para pdf de $\sqrt{Z^2 -1}$$Z + \sqrt{Z^2 - 1}$? Es allí una manera rápida de encontrar?

Yo también estoy interesado en los soportes de modo que las dos últimas transformaciones son reales o complejos.

Sus ideas son apreciados.

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\support}{support}$A la pregunta general aquí es un problema muy difícil, por la siguiente razón.

Deje $f(x_1, \dots, x_n)$ ser cualquier función, y deje $X_1, \dots, X_n$ ser aleatoria Gaussiana variables. A continuación, la r.v. $f(X_1, \dots, X_n)$ tiene apoyo en 0 si y sólo si, la ecuación de $f(x_1, \dots, x_n) = 0$ tiene un valor real de las soluciones. Para determinar el soporte de una función de variables aleatorias es al menos tan difícil como encontrar los ceros de las funciones correspondientes. Pero incluso bastante simple clases de expresiones funcionales, la búsqueda de sus ceros es indecidible (no existe ningún algoritmo!) Por ejemplo, por Richardson del Teorema, incluso si $f$ se limita a ser una función de un argumento, utilizando las constantes $\pi$$\ln 2$, adición, multiplicación, y las funciones de $\sin, \exp$ y el valor absoluto--a la pregunta de si $f(X)$ tiene apoyo en 0 es, en general, indecidible.

Usted puede hacer algunos avances en la sub-casos. Por ejemplo, si $X$ tiene apoyo en $[a, b]$ $f$ es continua y monótona creciente en ese intervalo, a continuación, $f(X)$ tiene apoyo en $[f(a_X), f(b)]$.

Del mismo modo, si las variables aleatorias $X$ $Y$ han conjunta de apoyo en todo el rectángulo $[a_X, b_X] \times [a_Y, b_Y]$, e $f$ es una función continua de dos argumentos, monótona creciente, tanto en el rectángulo, a continuación, $f(X, Y)$ tiene apoyo en $[f(a_X, a_Y), f(b_X, b_Y)]$ (y hay versiones similares si $f$ es monótona decreciente en uno o ambos argumentos en su lugar).

Finalmente, para abordar la no monotonía de las funciones de variables aleatorias, usted puede cortar su dominio en trozos rectangulares donde se monotono, y luego calcular el soporte de la función condicional en los argumentos que estén dentro de ese pedazo, y luego por la unión de los apoyos al final: por ejemplo, $\support(X^2) = \support(X^2 \mid X \ge 0) \cup \support(X^2 \mid X \le 0)$. Pero el proceso de acondicionamiento de esta manera se puede llegar muy espinoso si hay un montón de sub-expresiones y dependencia entre los argumentos.

Aplicación inteligente de los tres principios arriba mencionados probablemente va a llegar bastante lejos, pero no hay una respuesta general para funciones arbitrarias.