La continuidad de una función en un punto $ x = 0$

Question

Elija opciones correctas , más de uno puede estar en lo correcto .

(1)

$$ \textrm{The function defined by } \begin{cases} f(x)=\cos\left(\dfrac{1}{x}\right) & x\neq 0\\ f(0)=0 & \\ \end{cases} \qquad \textrm{is continuous at x=0.} $$

(2)

$$ \textrm{The function defined by } \begin{cases} f(x)=\sin x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) & x\neq 0\\ f(0)=0 & \\ \end{cases} \qquad \textrm{is continuous at x=0.} $$

(3)

$$ \textrm{The function defined by } \begin{cases} f(x)=x+\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) & x\neq 0\\ f(0)=1 & \\ \end{cases} \qquad \textrm{is continuous at x=0.} $$

(4)

$$ \textrm{The function defined by } \begin{cases} f(x)=x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) & x\neq 0\\ f(0)=1 & \\ \end{cases} \qquad \textrm{is continuous at x=0.} $$

aquí es la gráfica de cada función, pero no sé cómo trazar exactamente a través de wolfram

para (1) : el Gráfico de la función (1) a través de Wolfram

para(2) : el Gráfico de la función (2) a través de wolfram

para(3) : el Gráfico de la función (3) a través de wolfram

para(4) : el Gráfico de la función (4) a través de wolfram

Creo que la respuesta correcta es la (2) de Hecho :

Es bueno saber, que $$\left|\sin{x}\right|\leq 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Debido a esto, se tiene $$\left| \sin x \sin\dfrac{1}{x}\right|\leq \left|\sin x\right|\cdot 1 = \left|\sin x\right|$$ Así $$\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0 = f(0) $$

lo que significa que $f$ es continua en a $x=0$

• Por favor, demuéstrame que otras opciones no son correctas ?
• ¿Cómo puedo parcela de esas funciones en wolfram

Gracias y Saludos.

Answer 1

Rápida:

$$\lim_{x\to\pm\infty}\cos x\,\;or\;\,\sin x\;\;\;\;\;\text{don't exist}$$

y esto ya está fuera de las opciones (1) y (3).

En (4) tenemos una función que tiende a cero ($\;x\;$) veces en un almacén de la función $\;\left(\sin\frac1x\right)\;$ y por lo tanto el límite es cero, sin embargo, que no es igual que el valor definido de la función no (4) no es cierto.