¿Son conmutativos los límites?

Question

En general, ¿es cierto lo siguiente: $$\lim_{x\to a}f'(x)=\lim_{x\to a}\left(\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)=\lim_{h\to 0}\left(\lim_{x\to a}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)$$

Answer 1

Su afirmación se reduce a la continuidad de $f'.$

Sin embargo, la derivada, incluso si existe para cualquier punto $x\in\mathbb{R}$, no tiene por qué ser continua. Un contraejemplo clásico es $f(x)=x^2\sin(1/x)$ para $x\neq 0$ y $f(0)=0.

Answer 2

Este no es una respuesta a la pregunta, pero creo que vale la pena registrarla de una forma menos efímera que los comentarios. Se basa en una observación de @KaviRamaMurthy.

Supongamos que $f$ es diferenciable en un vecindario de $a$ y $\lim_{x \to a} f'(x)$ existe, entonces esto debe ser igual a $f'(a)$ como resultado del teorema de Darboux.

Nótese que la única suposición adicional a la pregunta es que $f$ es diferenciable en $a$, en particular, no se asume continuidad.

Para enfatizar, si los dos límites en la pregunta existen y $f$ es diferenciable en $a$ entonces los límites son iguales.

Además:

Supongamos que $\lim_{x \to a} f'(x) = g \neq f'(a)$. Sea $\epsilon= { 1\over 2} |g-f'(a)|$ y elijamos $\delta>0$ tal que si $0<|x-a| < \delta$ entonces $|f'(x)-g| < \epsilon$. Entonces $f'(B(a,\delta)) \subset \{f'(a)\} \cup B(g,\epsilon)$, nótese que $f'(a) \notin \overline{B(g,\epsilon)}$.

Elijamos $x$ tal que $0<|x-a|< \delta$. El teorema de Darboux indica que $(f'(x), f'(a)) \subset f'(B(a,\delta))$, lo cual es una contradicción.

Answer 3

Si el límite de la derivada existe en un punto $a$, entonces la función puede aproximarse por una recta en puntos realmente cercanos a la izquierda de $a$, ahora si el límite de la derivada existe, entonces otra recta con la misma pendiente que la recta anterior aproxima los puntos realmente cercanos a la derecha de $a$. Eso fue acerca del LHS de la ecuación, ahora pasando al RHS, tu primer límite significa que te acercas a $a$ desde cualquier lado, y fijas un $x$ realmente cercano a $a$, con el segundo límite estás hablando acerca de la derivada en ese $x$, la cual puede que no exista, pero a medida que te acercas a $a, la derivada está definida en esos puntos cercanos a $a$, porque tu LHS (límite de la derivada existe), significa que la derivada existe alrededor de un vecindario de $a$.

En cuanto a ejemplos de igualdad, puedes tener $y = x$, en un $x$ distinto de cero, y hacer que esta función sea discontinua en cero.