Mira un problema más sencillo: construir una base para el espacio de seccionalmente constante de las funciones cuyos valores se puede romper en los nudos. Con dos nudos, que los tres intervalos. Uno consistiría en (a) la función que es igual a $1$ para todos los argumentos, menos de o igual a $\xi_1$ e lo contrario es $0$, (b) la función igual a $1$ para todos los argumentos de $\xi_1$ a través de $\xi_2$ e lo contrario es $0$, y (c) la función igual a $1$ para todos los argumentos mayor que $\xi_2$ pero por lo demás es $0$. Sin embargo, hay otra manera. La idea es permitir que la base de los elementos de codificar los saltos que se producen en los nudos. La primera base de elemento por lo tanto es una función constante, decir $1$, independientemente de los nudos. El segundo elemento codifica un salto en $\xi_1$. Es conveniente llevarlo a la igualdad de $0$ para valores menores o iguales a $\xi_1$ y a la igualdad de $1$ para valores más grandes. Vamos a llamar a esta función $H_{\xi_1}$. El tercera base elemento puede ser llevado a ser $H_{\xi_2}$.
Por ejemplo, la constante a trozos función que salta de $48$ $-120$y, a continuación, a $240$ en los nudos $\xi_1 = 2$ $\xi_2 = 4$ puede ser escrito como $48 -168H_2 + 360H_4$: en esta forma, se revela explícitamente como un salto de $-168$$\xi_1=2$, seguido por un salto de $+360$$\xi_2=4$, a partir de un valor de referencia de $48$.
![spline 0]()
Aquí es una constante a trozos spline con dos nudos. Se determina por sus tres niveles, o, de manera equivalente, por una "línea de base" de nivel y de dos saltos.
Debe quedar claro que aunque el espacio de constante funciones tiene dimensión $1$, el espacio de seccionalmente constante de las funciones de con $k\ge 0$ nudos tiene dimensión $k+1$: una por una "línea de base" constante plus $k$ más dimensiones, una para cada posible saltar.
Splines cúbicos, se obtienen mediante la integración de funciones seccionalmente constante de tres veces. Esto introduce tres constantes de integración. Podemos incluirlos en la integral de la función constante. Esto le da una "línea de base" cúbicos distribuidos por $1$, $x$, $x^2$, y $x^3$. Modulo estas constantes de integración, la integral de $H_{\xi}$$\frac{1}{3!}(x-\xi)_+^3$: su tercera derivada salta por $1$ en el valor de $\xi$ e lo contrario es constante (igual a $0$ a la izquierda de $\xi$ $1$ a la derecha de $\xi$). La base nombrado en la cita meramente escala de estas funciones por $3!$.
![Spline 3]()
Aquí está una tercera parte integral de la anterior función constante a trozos. Aviso que no polinomio cúbico, posiblemente, puede comportarse de esta manera (no puede tener dos plana o casi plana de las secciones). Estrías son inherentemente más flexible que la de los polinomios del mismo grado; que se extienden por una de mayores dimensiones en el espacio de funciones.
Ahora debería ser obvio cómo extender esta formulación para cualquier número de nudos y a cualquier grado de splines. La comprensión de que el procedimiento puede ser útil cuando usted necesita no estándar estrías para problemas específicos. Por ejemplo, recientemente he tenido que desarrollar circular cuadrática estrías para una regresión que implicaba un angular de la variable independiente (una orientación en el plano modulo $180$ grados).
