¿Cómo puede el $Z\cup W\sim W$ para los conjuntos de $Z$$W$?

Question

He encontrado algo de tiempo para leer un poco más sobre la teoría de conjuntos, y me he encontrado con la siguiente pregunta.

Supongamos que tengo cuatro conjuntos $X$, $Y$, $Z$, y $W$ tal que $Y\subseteq W$$Z\subseteq X$. Supongamos también que $X\cup Y\sim Y$, $\sim$ me refiero a que los dos conjuntos de $X\cup Y$ $Y$ son equinumerous. ¿Cómo puedo demostrar que $Z\cup W\sim W$?

Pensé que el de Bernstein-Schroeder teorema podrían ser aplicables. La identidad de la función de los mapas de $W$ a $Z\cup W$ injectively, así que pensé que es suficiente para mostrar que hay una inyección de $Z\cup W$ a $W$. De $X\cup Y\sim Y$, hay una inyección de $f\colon X\cup Y\to Y$, y por lo tanto $f|_X$ es una inyección de $X$ a $Y$. Desde $Z\subseteq X$ hay una inyección de$Z$$X$, y al igual que la de $Y$ a $W$. Componer todos estos se les daría una inyección de $Z$ a $W$. Esos eran mis pensamientos, pero no creo que los puedo usar para mostrar que $Z\cup W$ mapas injectively en $W$. Debe haber una mejor manera. Gracias por la ayuda.

Answer 1

$Z \cup W \subseteq X \cup W = X \cup (Y \cup (W \;\backslash Y)) = (X \cup Y) \cup (W \;\backslash Y) \sim Y \cup (W \;\backslash Y) = W \subseteq Z \cup W$

Answer 2

Si $f\colon X\cup Y\to Y$ es una inyección y y $Z\subseteq X$, entonces la restricción a $f\colon Z\cup Y\to Y$ es también una inyección. Con $Y\subseteq W$ y el uso de la identidad de inyección de $i\colon W \backslash Y \to W \backslash Y$ restringido a la inyección de $i\colon W \backslash (Z \cup Y) \to W \backslash Y$, puede combinar $f|_{Z\cup Y}$ $i|_{W \backslash (Z \cup Y)}$ a proporcionar una inyección de $Z\cup W$ $W$