Las raíces de la derivada del polinomio

Question

Supongamos que f(z) es un polinomio tal que sus derivados no son cero para todos los $|z| <1$. Es la restricción de $f$ $|z|<1$1 a 1?

Sé que $f$ debe ser local 1 a 1. Es obvio que $f$ es de 1-1 para los polinomios de orden 1. El caso de la orden 2 de la siguiente manera a partir de Gauss-Lucas Thm.

Estoy atascado en la forma de probar el caso general.

Answer 1

Zarrax ya ha dado un gran ejemplo. He aquí una manera de ver que hay polinomio ejemplos del hecho de que hay holomorphic ejemplos. La motivación para esto es que el no-polinomio ejemplo, $g(z)=e^{2\pi i z}$ me vino a la mente cuando leí tu pregunta.

Deje $g$ ser holomorphic en un barrio de el disco cerrado, no inyectiva en el disco abierto, pero con nonvanishing derivado en el disco cerrado. Deje $(p_n)_n$ ser la secuencia de sumas parciales de la serie de Taylor de $g$ centrada en $0$, lo $p_n\to g$ $p_n'\to g'$ uniformemente en un (pequeño) barrio de el disco cerrado.

Desde $g'$ es nonvanishing en el disco cerrado, tiene un positivo mínimo módulo de $m$ no, que por la convergencia uniforme significa que $p_n'$ eventualmente ha de módulo mayor que $m/2$, y, en particular, es finalmente nonvanishing en el disco cerrado. Tome $a\neq b$ en el abrir de la unidad de disco tal que $g(a)=g(b)$. La aplicación del teorema de Hurwitz para la secuencia de funciones de $p_n(z)-g(a)$ en las pequeñas distintos discos centrado en $a$ $b$ muestra que $p_n$ finalmente toma el valor de $g(a)$ a más de un punto en el abierto de la unidad de disco. Por lo tanto, $p_n$ es, finalmente, un contraejemplo.

De hecho, el uso de WolframAlpha, se parece a $f(z)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{25}\frac{(2\pi iz)^k}{k!}}$ da un ejemplo. Supuestamente toma el valor de $-1$ en puntos muy cercanos a $\pm\frac{1}{2}$, y todos los $24$ de los ceros de sus derivados están fuera de la disco cerrado.

Answer 2

No es cierto en general... considerar $f(z) = (z-1)^n - 1$. A continuación, sus derivados tienen ceros sólo en $z = 1$, pero se toma el valor cero en cualquier $z = 1 + e^{2\pi i / n}$. Ya que estos están espaciados uniformemente alrededor de la circunferencia $|z - 1|= 1$, para un gran$n$, muchos de ellos se encuentran dentro de la unidad de disco.

Si quieres un ejemplo en el que los derivados de los ceros sólo fuera de la ${\it closed}$ unidad de disco, entonces usted puede tomar $f(z) = (z-(1+\epsilon))^n - 1$ pequeña $\epsilon > 0$.