¿Cuál es la diferencia entre el producto cartesiano y el producto tensorial de dos espacios vectoriales?

Question

En particular, ¿cómo es que la dimensión del producto cartesiano es la suma de las dimensiones de los espacios vectoriales subyacentes, mientras que el producto tensorial, a menudo definido como un cociente del producto cartesiano, tiene una dimensión que es el producto de las dimensiones de los espacios vectoriales subyacentes?

¿Se puede visualizar y explicar fácilmente en el caso del producto cartesiano RxR?

¿Cómo hacen los requisitos de bilinealidad y linealidad que haya un 'cambio' de (x1, x2) a x1*x2?

Answer 1

El producto tensorial de dos espacios vectoriales no es un cociente del producto cartesiano de esos espacios. Es un cociente del espacio vectorial libre con base el producto cartesiano. Es decir, $V \otimes W$ es un cociente de un espacio vectorial enormemente infinito dimensional. Un espacio vectorial con base $$\{x_\alpha \ | \ \alpha \in V \times W\},$$ por lo que hay un elemento de base para cada elemento de $V \times W$ (de ahí el término enorme).

Si fijas bases $\{v_i\}$ y $\{w_j\}$ de $V$ y $W$ entonces, debido a las relaciones por las que se hace el cociente, el producto tensorial tiene como base aquellos $\overline{x_\alpha}$ (donde la barra superior significa el elemento del cociente representado por $x_\alpha$) con $\alpha = (v_i, w_j)$ para algún $i, j$. Hay $\dim V$ opciones para $v_i$ y $\dim W$ opciones para $w_j$ por lo tanto hay $(\dim V)(\dim W)$ opciones para $\alpha$. Por lo tanto $\dim(V \otimes W) = (\dim V)(\dim W)$.

Por otro lado, el producto cartesiano $V \times W$ tiene base $$\{(v_i, 0), (0, w_j) \ | \ \text{para todo} \ i, j\}$$ y hay $\dim V + \dim W$ elementos en ese conjunto por lo que $\dim(V \times W) = \dim V + \dim W$.

Answer 2

Dados dos espacios vectoriales sobre el mismo anillo $K$: $(V_{1},+_{1},*_{1})$, $(V_{2},+_{2},*_{2}).$ El producto cartesiano de los dos espacios vectoriales es el nuevo espacio vectorial $(V_{1}\times V_{2},+,*)$ con las nuevas operaciones $(x,y)+(z,w)=(x+_{1}z,y+_{2}w),$ $\alpha*(x,y)=(\alpha*_{1}x,\alpha*_{2}y)$ para cada $x,z\in V_{1},\;\;$ $y,w\in V_{2}$ y $\alpha\in K.$

El producto tensorial de los espacios vectoriales $V_{1}$ y $V_{2}$ es el conjunto de todas las aplicaciones lineales (en ambos argumentos) de $V_{1}\times V_{2}$ en $K;$ lo cual significa que $V_{1}\otimes V_{2}=\{T:V_{1}\times V_{2}\mapsto K,\;\;T(\alpha x+\beta z,y)=\alpha*T(x,y)+\beta*T(z,y),\;\;T(x, \rho y+\sigma w)=\rho*T(x,y)+\sigma*T(x,w) \}.$

La diferencia entre el producto cartesiano y el producto tensorial de dos espacios vectoriales es que los elementos del producto cartesiano son vectores y en el producto tensorial son aplicaciones lineales (mapeos), estos últimos también son vectores pero aquellos aplicados a elementos de $V_{1}\times V_{2}$ resultan en un número de $K-.