Sé que una solución a esta pregunta tiene que ver con el hecho de que el $\gcd(15, 21) = 3$, así que la respuesta es no.
Pero no puedo averiguar cuál es el razonamiento detrás de esto. Cualquier ayuda sería muy apreciada!
Respuestas
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MJD
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Es realmente muy sencillo, imagina que los dos números como $15n$$21k$.
Supongamos que es posible, entonces: $15n-21k = 1$
Como usted dice $\gcd(15, 21) = 3$, así que usted puede factor: $3(5n-7k) = 1$.
En el lado izquierdo, tiene un múltiplo de 3, y en el otro tiene un 1, lo que no es, así, tenemos una contradicción. Tenga en cuenta que la inversión de la resta no cambia nada.
Student
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6
No: usted puede probar que $\text{gcd}(a, a +b) = \text{gcd}(a,b)$. Por lo tanto, tenemos que $\text{gcd}(a,a+1) = \text{gcd}(a,1) =1$.
Si consideramos ahora los múltiplos de $15$$21$, decir $k \cdot 15, n \cdot 21$$k, n \in \mathbb{Z}$, de tal manera que $n \cdot 21 = k \cdot 15 + 1$, entonces nos encontramos con que $3$ divide $\text{gcd}(k \cdot 15, n \cdot 21) = \text{gcd}(k \cdot 15, k \cdot 15 + 1) = 1$, lo cual es imposible.
Michael Tsang
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166
Supongamos que $15m > 21n$. Entonces usted está preguntando si: $$15m - 21n= 1.$$
Esto corresponde a:
$$15m = 21n + 1.$$
El término de la izquierda es divisible por $3$. Lo que sobre el término de la derecha?
Bien, $21n$ es divisible por $3$. Pero, si usted agregue$1$$21n$, no puede ser divisible por $3$ más. En realidad, usted tiene el término izquierda que es divisible por $3$ y el término derecho que es no divisible por $3$.
Por estas razones, usted no puede encontrar los números.
Argumentos similares debe ser usado para demostrar la misma al $21n > 15m$. En este caso, usted debe trabajar en $21n = 15m + 1$.
Saradamani
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Así que vamos a suponer que el 15 de múltiples es x y el 21 de múltiples es y,entonces lo que estamos obligados a demostrar es si 15x-21y=1 o no.
Por lo tanto, x = (1+21y)/15
=> x = 1/15 + (7/5)y
=> Para tener x un número entero y se convierte en una fracción que no es posible.Por lo tanto no puede existir.
Este tipo de ecuaciones se denominan especiales de ecuaciones donde el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones.
