Permutación Identidad y la Suma

Question

Mostrar que $\displaystyle 1+ \sum\limits_{k=1}^{n} k \cdot k! = (n+1)!$

RHS: Este es el número de permutaciones de un $n+1$ elemento del conjunto. Podemos reescribir esto como $n!(n+1)$.

LHS: parece que el $k \cdot k!$ tiene una forma similar a $(n+1)! = (n+1)n!$ También podemos escribir $1 = 0!$ creo que el uso de la mulitplication principio se utiliza aquí (por ejemplo, las permutaciones de una $k$ element set multiplicado por $k$).

Tenga en cuenta que una combinatoria es la prueba de que quería (no algebraica de uno).

Answer 1

Aquí está una breve descripción de una combinatoria manera de acercarse a este. Supongamos que estamos permuting $\{1,2,3,\ldots,n+1\}$. Una permutación es $P=(1,2,3,\ldots,n+1)$. Cualquier otra permutación tiene una primera posición de la izquierda, que difiere de la $P$.

Deje $S_1$ el conjunto de las permutaciones que la primera diferencia de $P$ en la posición $n$. Deje $S_2$ el conjunto de las permutaciones que la primera diferencia de $P$ en la posición $n-1$. Continuar de esta manera hasta que llegamos a $S_n$, que es el conjunto de permutaciones de que la primera diferencia de $P$ en la posición $1$.

Cuando se tiene en cuenta el tamaño de $S_i$, podemos convencernos de que es $(i+1)!-i! = i \cdot i!$. Esta es la parte que me estoy saltando. También recuento $P$ nos da el lado izquierdo.