Probabilidad que $\max(X,Y)> a \min(X,Y)$ donde $X$ y $Y$ son independientes y distribuidos uniformemente en $[0,1]$

Question

Dos independientes variable aleatoria $X$ $Y$ tener funciones de densidad de probabilidad uniforme en el intervalo [0,1]. Al$a \geqslant 1$, ¿cuál es la probabilidad de que $\max(X,Y)> a \min(X,Y)$, en términos de $a$?

Yo no soy capaz de obtener el concepto y el principio detrás de esta pregunta.

Answer 1

Desde eventos de $\{X \geqslant Y\}$ $\{X < Y\}$ son disjuntas: $$ \begin{eqnarray} \Pr(\max(X,Y) > a \min(X,Y)) &=& \Pr(\max(X,Y) > a \min(X,Y), X \geqslant Y) \\ && + \Pr(\max(X,Y) > a \min(X,Y), X < Y) \\ &=& \Pr(X > a Y, X \geqslant Y) + \Pr(Y > a X, X < Y) \end{eqnarray} $$ Ahora, para continuar de forma gráfica. Desde $a>1$, en el caso de $\{X > a Y, X \geqslant Y\} = \{ X > a Y \}$ es la porción de la unidad de la plaza de $[0,1]^2$ que tiene una forma de un triángulo, y lo mismo para el otro evento $$\{Y>a X, X<Y\} = \{Y> a X, Y>X\} = \{Y > a X\}$$ Las áreas son estas regiones (que corresponden a las probabilidades son las mismas.

La figura de sus áreas y sumarlos: $$ \Pr\max(X,Y) > a \min(X,Y)) = 2 \Pr\left(X > a Y\right) = \frac{1}{a} $$

La siguiente imagen podría ser de ayuda:

Answer 2

Acondicionado en si $X$ o $Y$ es el máximo de las dos variables aleatorias se puede escribir la necesaria probabilidad como: $$\begin{align*}P(\max\{X,Y\}>a\min\{X,Y\})&=P(X>aY\mid X\ge Y)P(X\ge Y)\\[0.2cm]&+P(Y>aX\mid Y\ge X)P(Y\ge X)\end{align*}$$ which due to symmetry of $X,Y$ can be simplified to: $$P(\max\{X,Y\}>a\min\{X,Y\})=2\cdot P(X>aY\mid X\ge Y)P(X\ge Y)$$ Again due to symmetry $P(X\ge Y)=\frac12$ and therefore it remains to calculate the probability $$P(X>aY\mid X\ge Y)=\frac{P(X>aY, X\ge Y)}{P(X\ge Y)}=\frac{P(X>aY)}{\frac12}=2P(X>aY)$$ Conditioning on $Y$, the probability on the RHS becomes $$P(X>aY)=\int_{Y}P(X>ay)f_Y(y)dy=\int_{0}^{\frac1a}\frac{1-ay}{1-0}\cdot1\,dy=\left.\frac{2y-ay^2}{2}\right|_0^{\frac1a}=\frac{1}{2a}$$ were the integration limits were selected so that $0<ay<1$. Thus $$P(X>aY \mid X\ge Y)=2\cdot \frac{1}{2a}=\frac{1}{a}$$ and therefore $$P(\max\{X,Y\}>a\min\{X,Y\})=\not 2\cdot\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{\not 2}=\frac{1}{a}$$

Answer 3

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\dsc}[1]{\displaystyle{\color{red}{#1}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,{\rm Li}_{#1}} \newcommand{\norm}[1]{\left\vert\left\vert\, nº 1\,\right\vert\right\vert} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ $\ds{a \geq 1}$.

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Hay un ${\sf\underline{straightforward}}$ respuesta:

\begin{align}&\color{#66f}{\large\left.\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\dd x\,\dd y\, \right\vert_{\,\max\pars{x,y}\ >\ a\min\pars{x,y}}} =\left.\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\dd x\,\dd y\, \,\right\vert_{x\ <\ y \atop {\vphantom{\Large A}y\ >\ ax}} + \left.\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\dd x\,\dd y \,\right\vert_{x\ >\ y \atop {\vphantom{\Large A}x\ >\ ay}} \\[5mm]&=\left.\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\dd x\,\dd y\,\right\vert_{\,x\ <\ y/a} +\left.\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\dd y\,\dd x\,\right\vert_{\,y\ <\ a/x} =2\int_{0}^{1}\int_{0}^{y/a}\,\dd x\,\dd y =2\int_{0}^{1}{y \over a}\,\dd y=\color{#66f}{\Large{1 \over a}} \end{align}