Un isomorfismo en la cohomología relativa de De Rham

Question

Deje $E$ ser un suave orientada vector paquete a través de una suave colector $M$ y deje $E^0$ ser el complemento de la sección cero en $E$. Me gustaría que un razonablemente explícita isomorfismo entre la relación De Rham cohomology grupo$H^p(E,E^0)$$H^p(M)$. Tal vez esta es una versión de la Thom isomorfismo?

En caso de que alguien necesite un repaso, $H^*(E,E^0)$ es el cohomology del complejo, cuya cadena de grupos se $\Omega^p(E,E^0) := \Omega^p(E) \oplus \Omega^{p-1}(E^0)$ y cuyo diferencial está dado por $d(\omega_1, \omega_2) = (d \omega_1, i^* \omega_1 - d \omega_2)$.

EDIT: de hecho, quiero demostrar que $H_{cv}^P(E,E^0) \cong H^p(M)$ donde $H_{cv}^p(E,E_0)$ es el cohomology de los complejos descritos anteriormente, donde todas las formas tienen compacto de apoyo en la dirección vertical.

Answer 1

No creo que lo que estamos pidiendo es cierto exactamente como se indica, pero lo que está recibiendo es el de Thom isomorfismo. La prueba de la isomorfismo realmente sólo utiliza los datos básicos sobre el vector de paquetes y los axiomas de la homología, por lo que elegir cualquier prueba que te gusta y usted debería ser capaz de traducir a la relación de Rham cohomology. No voy a probarlo, pero te puedo decir explícitamente lo que los mapas son.

Dado un vector paquete de $p:E \to M$ de la fila $r$, recoger algunas métricas en $E$ y usarlo para definir el disco bundle $D \to M$ y la unidad de la esfera bundle $S \to M$. Una orientación de $E$ nos da una clase de $\alpha \in H^r(D, S)$ que satisface la propiedad de que para todos los $x \in M$, la restricción de $\alpha$ a la fibra por encima de $x$ de los rendimientos de un generador de $H^r(D_x, S_x)$. Entonces podemos definir un mapa de $H^k(M) \to H^{k+r}(D, S)$ través $\omega \mapsto p^\ast(\omega) \cup \alpha$. La Thom isomorfismo teorema nos dice que este mapa es un isomorfismo graduales de los anillos. Si usamos el de Rham modelo, entonces los elementos de a $H^\ast(D, S)$ puede ser representado por formas diferenciales, y a la inversa mapa de $H^{k+r}(D,S) \to H^k(M)$ está dado por fiberwise integración.

Tenga en cuenta que por homotopy invariancia, $H^\ast(D, S) \cong H^\ast(E, E^o)$, pero yo prefiero usar $(D,S)$ ya que hace que las fibras compactas.

La mejor referencia que puede pensar el de Rham enfoque es Bott y Tu, Formas Diferenciales en Topología Algebraica.