Sobre el número de mapas ideopotentes homotopy sobre cuña de dos espacios

Question

Deje$X$ ser un espacio topológico. Un mapa$f:X\longrightarrow X$ se llama homotopy idempotent si$f\circ f\simeq f$. El conjunto de todas las clases homotopy de homotopy idempotents sobre$X$ se denota por$hI(X). $

¿Está determinado$Card(hI(X\vee Y))$ por$Card(hI(X))$ y$Card(hI(Y))$?

Answer 1

Esta no es una respuesta. Permítanme restringir la atención a Eilenberg-MacLane espacios de $BG$ donde $G$ es un grupo discreto. A continuación, el monoid de homotopy clases de mapas de $BG \to BG$ puede ser identificado con el conjunto de clases conjugacy de endomorphisms $G \to G$, y el conjunto de homotopy clases de homotopy idempotents puede ser identificado con el conjunto de clases conjugacy de "conjugación-idempotente" endomorphisms, significado endomorphisms $F : G \to G$ tal de que no existe $h \in G$ tal que

$$F^2(g) = h F(g) h^{-1} \forall g \in G.$$

Cada una de estas endomorfismo es conjugado a un idempotente endomorfismo, de la siguiente manera: definir $E(g) = h^{-1} F(g) h$. Entonces

$$E^2(g) = h^{-1} F(h^{-1} F(g) h) h = h^{-2} F^2(g) h^2 = h^{-1} F(g) h = E(g).$$

Así que en realidad sólo necesitamos restringir nuestra atención a las clases conjugacy de idempotents. (Este es un grupo de teoría de caso especial de la general, el hecho de que un mapa entre dos señalado trayectoria-conectado espacios es homotópica a una basada en mapa).

Un cálculo similar se muestra que dos conjugado endomorphisms de hecho son iguales, por lo que sólo necesitamos discutir idempotente endomorphisms. Que es:

El conjunto de homotopy clases de homotopy idempotente endomorphisms de Eilenberg-MacLane espacio de $BG$, naturalmente, puede ser identificado con el conjunto de idempotente endomorphisms de $G$.

Idempotente endomorphisms de un grupo puede ser entendido de la siguiente manera. Si $E : G \to G$ es cualquier endomorfismo, siempre tenemos una corta secuencia exacta

$$\text{ker}(E) \to G \to \text{im}(E).$$

Si $E$ es idempotente, la característica adicional es que el $\text{im}(E) = \text{fix}(E)$ es el grupo de puntos fijos de $E$, y, en particular, es un subgrupo; dicho de otra manera, $E$ equipa el corto secuencia exacta de arriba con una canónica de la división de $\text{im}(E) \to G$, exhibiendo $G$ como el semidirect producto de $\text{ker}(E)$$\text{im}(E)$. Este es un natural bijection, por lo tanto:

El conjunto de idempotente endomorphisms de un grupo de $G$ puede ser identificado con el conjunto de pares $(N, K)$ de los subgrupos de $G$ tal que $G$ es el semidirect producto $N \rtimes K$.

Llame a un par de una división de $G$. Ahora, tu pregunta, que se especializan en espacios largos, pide a la siguiente puramente grupo de la teoría de la pregunta.

Es el número de escisiones del producto libre de $G \ast H$ determinado por el número de escisiones de $G$ e de $H$?

Pensé que la respuesta termina siendo claramente que no y que sería fácil escribir un contraejemplo, pero en realidad está empezando a parecer como $G \ast H$ básicamente siempre ha infinitamente muchos idempotente endomorphisms, mientras $G$ $H$ son tanto trivial, porque el cociente de mapa de $G \ast H$ a $G$ o $H$ tiene un montón de secciones. Los ejemplos que me miraba eran todos finitely generado así terminó todo teniendo countably muchos idempotente endomorphisms.