Cómo resolver $\int(\cos(x)^{\cos(x)+1}\tan(x) (1+\log(\cos(x)))dx$? (Problema número 20 del calificador de integración de MIT 2017)

Question

Estoy trabajando en el calificador, tratando de aprender algunas técnicas nuevas a medida que avanzo. Estoy bastante bloqueado por este. Resolver: $$ \ int (\ cos (x) ^ {\ cos (x) +1) \ tan (x) (1+ \ log (\ cos (x))) dx$$ My steps so far have been to let $ u = \ cos (x)$ and $ \, du = - \ sin (x) \, dx$ which yields: $$-\int u^u(1+\log(u))du$ $ Desde aquí no estoy muy seguro de a dónde ir. Preferiría una pista en lugar de una solución completa, por favor. ¡Gracias!

Answer 1

Eso es todo lo que necesitas. Use$u^u=e^{u\log u}$ y diferencie.

Answer 2

Es difícil insinuar esto sin revelarlo, pero ¿qué sucede cuando se diferencia$x^x$?