Mapeos conformes de $\mathbb{D}$ en $\mathbb{D}$ que no es uno a uno?

Question

Una función holomorfa (analítica) $f:\Omega\to\mathbb{C}$ se denomina mapeo conforme si $f'$ es no evanescente. Toda función holomorfa de uno a uno es conforme, pero lo contrario no es cierto (por ejemplo $\exp$ .)

Mi pregunta es:

1. ¿Existe algún mapeo conforme de $\mathbb{D}$ en $\mathbb{D}$ que no es uno a uno?

(o

1. Si $f:\mathbb{D}\to\mathbb{D}$ es conforme y onto, entonces se deduce que $f$ es uno a uno).

2. Encuentra todos los mapeos conformes de $\mathbb{D}$ en $\mathbb{D}$ tal que $f(0)=0$ .

Answer 1

Comenzar con el mapa $f(z)=z^3$ en el medio disco superior $D=\{ z:|z|<1,\Im z>0\}$ . Es "conforme" en el sentido de que $f'(z)\neq 0$ y mapas $D$ subjetivamente en el disco unitario perforado $U^*=\{ z:0<|z|<1\}$ . Sea $G_0$ sea la superficie de Riemann $f(D)$ . Su límite está formado por dos intervalos $[0,1]$ y $[-1,0]$ y el "arco de círculo" $\{ e^{i\theta}:0<\theta<3\pi\}$ . Obsérvese que al rastrear $[0,1]$ de $0$ a $1$ , $G_0$ se queda en el lado izquierdo. (Esto se debe a que $D$ está a la izquierda de $[0,1]$ el mapa en este intervalo es creciente).

Consideremos ahora un dominio simplemente conectado $G_1$ en el disco de la unidad que a) contiene $0$ y b) cuya frontera orientada contiene el intervalo orientado de $1$ a $1/2$ (para que al trazar el intervalo desde $1$ a $1/2$ , $G_1$ está en su lado izquierdo. Tal dominio es fácil de construir: por ejemplo, tome la unión del semidisco inferior con el disco $|z|<1/4$ .

Entonces puedes pegar $G_0$ y $G_1$ a lo largo del intervalo $(1/2,1)$ . El resultado es una superficie de Riemann simplemente conectada $G$ repartidos por el disco de la unidad. Por el teorema de la uniformización, se puede mapear el disco unitario conformemente en $G$ . Este mapa conforme satisface todas sus condiciones.

Observación. De hecho se puede evitar utilizar el difícil teorema de la Uniformización aquí, porque nuestra superficie es de hecho un polígono: si se elige $G_1$ como he descrito, entonces se trata de un hexágono delimitado por cuatro segmentos rectos y dos arcos de círculo. La existencia de un mapa conforme a dicho hexágono se puede demostrar sin apelar al teorema de uniformización.