Functor no local cubierto por afines abre

Question

He estado leyendo Demazure y Gabriel aprender el functor de los puntos de enfoque de la geometría algebraica. Ellos definen un functor $X$ desde conmutativa anillos de conjuntos como local si la secuencia estándar $$X(R) \to \prod_{i \in I}X(R_{f_i}) \overset{\to}{\to} \prod_{\substack{i, j \in I \\ i \neq j}}X(R_{f_if_j})$$ es exacto para cada anillo conmutativo $R$ y secuencia $f_i$ generación de la unidad ideal. Mi entendimiento es que este es el mismo que el de la secuencia $$\mathrm{Mor}(Y, X) \to \prod_{i \in I}\mathrm{Mor}(Y_i, X) \overset{\to}{\to} \prod_{\substack{i, j \in I \\ i \neq j}}\mathrm{Mor}(Y_i \cap Y_i, X)$$ siendo exactos, donde $Y$ es cualquier functor con un abierto que cubre $Y_i$. Estoy feliz usando la definición.

Un esquema es un functor que tiene un cubrimiento por los afín a abrir subfunctors. Como un ejemplo de que la condición anterior, no es trivial que sugieren mirando el subfunctor $X \subseteq \mathrm{Gr}_{n, r}$ de la Grassmannian. Donde $\mathrm{Gr}_{n, r}(R)$ es el conjunto de rango $n$ sumandos de $R^{n + r}$ definen $X(R)$ a ser el conjunto de libre rango $n$ sumandos de $R^{n + r}$. Es fácil ver que la afín, se abre con una tapa de $\mathrm{Gr}_{n, r}$ son en realidad subfunctors de $X$ y cubierta de $X$, pero Demazure y Gabriel afirmación de que $X$ no es local, mientras que $\mathrm{Gr}_{n, r}$ es.

No puedo entender por qué $X$ no es local. ¿Alguien puede explicar esto a mí, o, alternativamente, dar un ejemplo de un functor $X$ que es cubierto por las afín a abrir subfunctors pero que no es local?

Answer 1

Creo entender que las cosas ahora, ya que un par de personas favorited a la pregunta que voy a publicar lo que he averiguado. Voy a estar usando Demazure y Gabriels definición de los locales. Primero un poco lema:

Lema. Deje $X$ ser un subfunctor de $Y$ y deje $Y$ ser local. A continuación, $X$ es local si y sólo si para cada a $R$ y cada una de las $f_1, \ldots, f_n \in R$ generación de la unidad ideal, si $y \in Y(R)$ mapas a $X(R_{f_i})$ por cada $i$$y \in X(R)$.

Prueba. La secuencia que tenemos que comprobar es exacto para $X$ es una restricción de la secuencia de $Y$, por lo que el primer mapa de $X(R) \to \prod_iX(R_{f_i})$ es automáticamente inyectiva. Un elemento de $\prod_iX(R_{f_i})$ en el que los dos mapas siguientes de acuerdo ascensores $Y(R)$ porque $Y$ es local y que el levante es el único modo de obtener exactitud si y sólo si que eleva a $Y(R)$ en realidad, aterrizó en $X(R)$. $\square$

Ahora tomamos $R = \mathbb Z[\sqrt{-5}]$. El aceptó la respuesta de esta pregunta explica por qué el ideal de $\mathfrak a = (3, 1 + \sqrt{-5})$ es un sumando de a $R^2$. A continuación, tomar $$f_1 = 1 - \sqrt{-5}$$ $$f_2 = 1 + \sqrt{-5}$$ $$f_3 = 3$$ y tenga en cuenta que estos generan la unidad ideal. La localización de $\mathfrak a$ $f_1$ obtenemos $1 + \sqrt{-5} = \frac{6}{1 - \sqrt{-5}}$, por lo que la localización de la $R_{f_1}\mathfrak a = (3)$ que es lo principal, por lo tanto libre de rango $1$. Desde $\mathfrak a$ contiene $f_2$ $f_3$ tenemos que localizar en cualquiera de estos elementos da la unidad de lo ideal, que es libre de rango $1$. Por lo tanto $\mathfrak a \in \mathrm{Gr}_{1, 1}(R)$ mapas a $X(R_{f_i})$ por cada $i$, pero $\mathfrak a \notin X(R)$. Esto demuestra que la subfunctor $X$ no es local.