Aproximación de números racionales

Question

La pregunta es mencionado de la siguiente manera:

Encontrar fracciones de la forma $\frac{a}{b}$ donde $|b| \leq 10$ que están tan cerca como sea posible a las siguientes fracciones:

(a) $\frac{660}{563}$

(b) $\frac{2344}{733}$

(c) $0.150493827$

Ninguna otra información fue proporcionada con la pregunta, además del hecho de que en el contexto se puede inferir que $\frac{a}{b}$ debe ser un número racional.

Mi primer impulso es agarrar una calculadora y encontrar el $a,b \in \mathbb{N}\ , \ 0 < b \leq 10\ $ cuyo cociente $\frac{a}{b}$ más valor decimal de la fracción en la pregunta por la adivinación y la comprobación. Ese método podría proporcionar una solución que es técnicamente correcto, pero realmente no hay ningún pensamiento matemático detrás de él y "he intentado como de veinte combinaciones diferentes y prometo que este es el mejor", obviamente no es una explicación válida para dicha respuesta.

Mi siguiente pensamiento fue para dividir los números en el numerador y el denominador por el poder de la $10$ , en torno a la resultante de los números reales hacia arriba o hacia abajo para enteros y esperando lo mejor. Mientras que un poco más teóricamente metódico de comprobación al azar, todavía implica un grado de conjeturas que no creo que este problema requiere. Por otra parte, este método ha funcionado para la fracción (a), pero no para (b), por lo que no puede ser aplicable para cualquier fracción.

También he intentado resolver desigualdades de la forma $\frac{a-1}{b-1} < \frac{660}{563} < \frac{a+1}{b+1}$ y varias variaciones de los mismos y todos ellos parecen llegar a un metódico conclusión similar a la segunda enfoque descrito anteriormente.

Básicamente, ¿cómo puedo solucionar este problema con un 100% de fidelidad para cualquier fracción, usando un método que no está basado en conjeturas intuitivas?

Answer 1

Cada mejor aproximación racional$r$ de un número real$x$ (en el sentido de que$|r - x| < |s-x|$ para cada otro número racional$s$ con el mismo o menor denominador) es un convergente o una fracción intermedia de la representación de fracción continua de$x$.

Answer 2

No estoy seguro de que esto está garantizado para darle la mejor estimación para cualquier obligado en el numerador y denominador, pero en general muy buenas estimaciones en relación con el tamaño del denominador por tomar continuó fracción convergents. Para los números racionales se va como esta. Dividir un número entero y parte fraccionaria:

$$660/563 = 1+97/563.$$

A continuación, escriba la parte fraccionaria $f=(f^{-1})^{-1}$ y repita el procedimiento en $f^{-1}$. Así que la segunda etapa es

$$660/563=1+(5+78/97)^{-1}.$$

En cualquier momento usted puede cancelar y obtener un límite superior y límite inferior mediante la sustitución de la parte final de la fracción por $0$$1$. Así, por ejemplo, en el inicio de obtener el más aburrido obligado

$$1 \leq \frac{660}{563} \leq 2$$

y en la segunda etapa de obtener la más interesante obligado

$$\frac{7}{6} \leq \frac{660}{563} \leq \frac{6}{5}.$$

Hay una manera de utilizar una ligera variante del algoritmo de Euclides para hacer esto de manera eficiente sin tener que escribir todas estas ecuaciones a lo largo del camino. En el primer paso que usted toma el cociente y el residuo $(q,r)$ cuando se dividen $a/b$; grabar $q$ para la respuesta final y, a continuación, calcular el cociente y el residuo $(q',r')$ cuando se dividen $b/r$; grabar $q'$ para la respuesta final y, a continuación, calcular el cociente y el residuo $(q'',r'')$ cuando se dividen $r/r'$; etc. Finalmente, para un número racional esto va a terminar; el último resto distinto de cero será el máximo común divisor de a$a$$b$. (La única diferencia entre este y el algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor es que usted se registre el intermedio de cocientes.)

Tenga en cuenta que un número decimal es un caso especial de la misma cosa, donde el denominador es sólo $10^n$ algunos $n$.

Answer 3

Para cada número real$x$, puede ir al árbol Stern-Brocot ubicando$x$, registrando las mejores aproximaciones racionales que tienen denominador en el rango dado, tomando las mejores aproximaciones encontradas en cada paso.